Μαγνητικό δίπολο

Διπολική ροπή m.

Ηλεκτρικό ρεύμα I.

Το μαγνητικό πεδίο και η μαγνητική ροπή, που οφείλονται σε φυσικά μαγνητικά δίπολα (αριστερά), ή σε βρόχο ηλεκτρικού ρεύματος (δεξιά). Αμφότερα δημιουργούν ίδια γεωμετρικά μορφή πεδίου.^[1]

Μαγνητικό δίπολο είναι το όριο ενός ζεύγους ετερώνυμων μαγνητικών πόλων, ή ενός κλειστού βρόχου ηλεκτρικού ρεύματος, όταν οι διαστάσεις τους τείνουν προς το μηδέν, ενώ η μαγνητική ροπή τους παραμένει σταθερή. Το μαγνητικό δίπολο αποτελεί το μαγνητικό ανάλογο του ηλεκτρικού διπόλου, αλλά η αναλογία δεν είναι πλήρης. Συγκεκριμένα, το μαγνητικό μονόπολο, το μαγνητικό ανάλογο του ηλεκτρικού φορτίου, δεν έχει ποτέ παρατηρηθεί. Επιπλέον, μια μορφή ροπής μαγνητικού διπόλου συνδέεται με μία θεμελιώδη κβαντομηχανική ιδιότητα: το σπιν των στοιχειωδών σωματιδίων.

Το μαγνητικό πεδίο γύρω από οποιαδήποτε πηγή μαγνητικών δυνάμεων μοιάζει όλο και περισσότερο με το πεδίο ενός μαγνητικού διπόλου καθώς η απόσταση από την πηγή μεγαλώνει.

Εξωτερικό πεδίο παραγόμενο από μαγνητικό δίπολο

Στην Κλασική Φυσική το μαγνητικό πεδίο ενός διπόλου (διπολικό μαγνητικό πεδίο) θεωρείται το όριο ενός βρόχου ρεύματος ή ζεύγους πόλων με τις διαστάσεις τους να συρρικνώνονται σε σημείο ενώ ταυτόχρονα η μαγνητική ροπή τους m παραμένει σταθερή. Για έναν βρόχο ρεύματος, αυτό το όριο υπολογίζεται ευκολότερα από το διανυσματικό μαγνητικό δυναμικό. Μακριά από το δίπολο, αυτό το δυναμικό είναι (στο σύστημα SI)^[2]

${\displaystyle {\mathbf {A} }({\mathbf {r} })={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{2}}}{\frac {{\mathbf {m} }\times {\mathbf {r} }}{r}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {{\mathbf {m} }\times {\mathbf {r} }}{r^{3}}},}$

όπου 4π r² είναι η επιφάνεια σφαίρας ακτίνας r.

Η μαγνητική επαγωγή του πεδίου είναι:

${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathbf {r} })=\nabla \times {\mathbf {A} }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{r^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{r^{3}}}\right).}$

Σε σφαιρικές συντεταγμένες με το διάνυσμα της μαγνητικής ροπής ευθυγραμμισμένο με τον άξονα, αυτή η σχέση εκφράζεται ως

${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathbf {r} })={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {|\mathbf {m} |}{|\mathbf {r} |^{3}}}\left(2\cos \theta \,\mathbf {\hat {r}} +\sin \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\right).}$

Εναλλακτικά, μπορούμε να υπολογίσουμε το βαθμωτό δυναμικό πρώτα από το όριο του μαγνητικού πόλου,

${\displaystyle \psi ({\mathbf {r} })={\frac {{\mathbf {m} }\cdot {\mathbf {r} }}{4\pi r^{3}}},}$

και από εκεί την ένταση του μαγνητικού πεδίου H:

${\displaystyle {\mathbf {H} }({\mathbf {r} })=-\nabla \psi ={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{r^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{r^{3}}}\right)=\mathbf {B} /\mu _{0}.}$

Το διπολικό μαγνητικό πεδίο είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα της μαγνητικής ροπής.

Εσωτερικό μαγνητικό πεδίο διπόλου

Τα δύο πρότυπα για ένα δίπολο (κλειστός βρόχος ρεύματος και ζεύγος μαγνητικών πόλων) δίνουν τις ίδιες προβλέψεις για το μαγνητικό πεδίο μακριά από αυτό. Ωστόσο, μέσα στην περιοχή της πηγής δίνουν διαφορετικά αποτελέσματα. Το πεδίο ανάμεσα στους πόλους έχει φορά αντίθετη με τη μαγνητική ροπή (διάνυσμα που κατευθύνεται προς τον βόρειο μαγνητικό πόλο), ενώ μέσα σε έναν βρόχο ρεύματος έχει τη φορά της ροπής. Προφανώς τα όρια αυτών των πεδίων πρέπει επίσης να είναι διαφορετικά καθώς οι διαστάσεις του διπόλου τείνουν στο μηδέν. Αυτή η διάκριση έχει σημασία μόνο όταν το όριο του διπόλου χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των πεδίων μέσα σε ένα μαγνητικό υλικό.

Αν ένα μαγνητικό δίπολο σχηματίζεται με τη σμίκρυνση ενός βρόχου ρεύματος όλο και μικρότερο, αλλά κρατώντας το γινόμενο της εντάσεως του ρεύματος επί το εμβαδόν του βρόχου σταθερό, το πεδίο στο όριο τείνει να περιγράφεται από τη σχέση

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {x} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {x} |^{3}}}+{\frac {8\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {x} )\right],}$.

όπου το n=x/|x| είναι μοναδιαίο διάνυσμα και δ(x) είναι η συνάρτηση δέλτα σε τρεις διαστάσεις. Αντίθετα με τις εκφράσεις στην προηγούμενη ενότητα, αυτό το όριο είναι σωστό και για το εσωτερικό πεδίο του διπόλου.

Αν ένα μαγνητικό δίπολο σχηματίζεται φέρνοντας έναν «βόρειο μαγνητικό πόλο» και έναν «νότιο μαγνητικό πόλο» όλο και πιο κοντά τον έναν στον άλλο, αλλά κρατώντας το γινόμενο της μαγνητικής ποσότητας και της μεταξύ τους αποστάσεως σταθερό, τότε η ένταση του πεδίου στο όριο τείνει στο

${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {x} |^{3}}}-{\frac {4\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {x} )\right].}$

Τα δύο αυτά πεδία συνδέονται με τη σχέση B = μ₀(H+M), όπου

${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} )=\mathbf {m} \delta (\mathbf {x} )}$

είναι η μαγνήτιση.

Δυνάμεις ανάμεσα σε δύο μαγνητικά δίπολα

Η δύναμη F που ασκείται από ένα δίπολο με μαγνητική ροπή m₁ σε ένα άλλο με μαγνητική ροπή m₂, το οποίο απέχει από το πρώτο μια απόσταση εκφραζόμενη από το διάνυσμα r, μπορεί να υπολογισθεί από τη σχέση^[3]

${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \left(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {B} _{1}\right),}$

ή από τη σχέση^[4][5]

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})={\dfrac {3\mu _{0}}{4\pi r^{5}}}\left[(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{2}+(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{1}+(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {r} -{\dfrac {5(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )}{r^{2}}}\mathbf {r} \right],}$

Η δύναμη που ασκείται πάνω στο δίπολο m₁ έχει αντίθετη κατεύθυνση.

Η ροπή που ασκείται π.χ. στο δεύτερο δίπολο δίνεται από τη σχέση:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} _{2}\times \mathbf {B} _{1}.}$

Διπολικά πεδία από πεπερασμένες πηγές

Το βαθμωτό μαγνητικό δυναμικό ψ που παράγεται από πεπερασμένη πηγή δυνάμεων εξωτερικά από αυτή, μπορεί πάντα να αναπαρασταθεί με μία πολυπολική ανάπτυξη. Ο κάθε όρος στην ανάπτυξη αυτή συνδέεται με μία χαρακτηριστική πολυπολική μαγνητική ροπή και ένα δυναμικό με χαρακτηριστικό ρυθμό μειώσεως με την απόσταση r από την πηγή. Οι διπολικές ροπές έχουν δυναμικό που μειώνεται με την αυξανόμενη απόσταση ως 1/r², οι τετραπολικές ροπές έχουν δυναμικό που μειώνεται ως 1/r³, κ.ο.κ.. Επειδή ο μικρότερης τάξεως όρος που παρατηρείται στα μαγνητικά δυναμικά είναι ο διπολικός (αντίθετα από , κυριαρχεί σε μεγάλες αποστάσεις. Για τον λόγο αυτό, από αρκετά μεγάλη απόσταση οποιαδήποτε πηγή μαγνητικού πεδίου παράγει πεδίο σχεδόν ταυτόσημο με αυτό ενός διπόλου με την ίδια μαγνητική ροπή.

Παραπομπές

1. I.S. Grant, W.R. Phillips (2008). Electromagnetism (2η έκδοση). Manchester Physics, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9. 
2. Chow 2006, σελίδες 146–150
3. D.J. Griffiths (2007). Introduction to Electrodynamics (3rd έκδοση). Pearson Education. σελ. 276. ISBN 81-7758-293-3. 
4. Furlani 2001, σελ. 140
5. K.W. Yung; P.B. Landecker; D.D. Villani (1998) (PDF). An Analytic Solution for the Force between Two Magnetic Dipoles. http://downloads.hindawi.com/archive/1998/079537.pdf. Ανακτήθηκε στις 24 Νοεμβρίου 2012. 

Πηγές

• Chow, Tai L. (2006). Introduction to electromagnetic theory: a modern perspective. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-3827-3. 
• Jackson, John D. (1999). Classical Electrodynamics (3η έκδ.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X. OCLC 224523909. 
• Furlani, Edward P. (2001). Permanent Magnet and Electromechanical Devices: Materials, Analysis, and Applications. Academic Press. ISBN 0-12-269951-3. 
• Schill, R.A. (2003). «General relation for the vector magnetic field of a circular current loop: A closer look». IEEE Transactions on Magnetics 39 (2): 961–967. doi:10.1109/TMAG.2003.808597. Bibcode: 2003ITM....39..961S.