Εξίσωση Λαπλάς

Η εξίσωση Λαπλάς (ή με τη λατινική ορθογραφία εξίσωση Laplace) είναι η εξίσωση ${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0}$ ή γράφεται ισοδύναμα με τον τελεστή Λαπλάς ${\displaystyle \Delta \phi =0}$. Η εξίσωση ονομάζεται έτσι προς τιμή του Πιέρ Σιμόν Λαπλάς. Οι λύσεις της εξίσωσης ονομάζονται αρμονικές συναρτήσεις. Τυπικές λύσεις της εξίσωσης είναι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο.

Όταν η συνάρτηση ${\displaystyle \phi }$ αναπαριστά ηλεκτρικό δυναμικό και δεν υπάρχουν φορτία στο χώρο (άρα ρ=0), τότε η εξίσωση Λαπλάς είναι ειδική περίπτωση της εξίσωσης Πουασόν. Η εξίσωση Λαπλάς ισχύει για κάθε συνάρτηση δυναμικού από οποιαδήποτε κατανομή φορτίου και αν προέρχεται και δείχνει ότι δεν μπορεί να πάρει ακραίες τιμές σε σημεία του χώρου στα οποία δεν υπάρχουν φορτία.

Βιβλιογραφία - Πηγές

• Stephenson G., Εισαγωγή στις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις, Έκδοση της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, 1987