Διάταξη

Στα μαθηματικά, μία διάταξη μεγέθους ${\displaystyle k}$ ενός συνόλου ${\displaystyle A}$ με ${\displaystyle n}$ στοιχεία, είναι οποιαδήποτε διατεταγμένη ${\displaystyle k}$-άδα ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{k})}$, όπου ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$ είναι στοιχεία του ${\displaystyle A}$ και διαφορετικά μεταξύ τους.^[1]:58-59[2]

Για παράδειγμα, για το σύνολο ${\displaystyle A=\{{\color {red}\alpha },{\color {green}\beta },{\color {blue}\gamma },{\color {orange}\delta }\}}$, οι δυνατές διατάξεις μεγέθους ${\displaystyle 2}$ είναι οι εξής:

${\displaystyle ({\color {red}\alpha },{\color {green}\beta })}$, ${\displaystyle ({\color {red}\alpha },{\color {blue}\gamma })}$, ${\displaystyle ({\color {red}\alpha },{\color {orange}\delta })}$, ${\displaystyle ({\color {green}\beta },{\color {blue}\gamma })}$, ${\displaystyle ({\color {green}\beta },{\color {orange}\delta })}$, ${\displaystyle ({\color {blue}\gamma },{\color {orange}\delta })}$,

${\displaystyle ({\color {green}\beta },{\color {red}\alpha })}$, ${\displaystyle ({\color {blue}\gamma },{\color {red}\alpha })}$, ${\displaystyle ({\color {orange}\delta },{\color {red}\alpha })}$, ${\displaystyle ({\color {blue}\gamma },{\color {green}\beta })}$, ${\displaystyle ({\color {orange}\delta },{\color {green}\beta })}$, ${\displaystyle ({\color {orange}\delta },{\color {blue}\gamma })}$.

Μερικές από τις δυνατές διατάξεις μεγέθους ${\displaystyle 3}$ είναι οι εξής: ${\displaystyle ({\color {red}\alpha },{\color {orange}\delta },{\color {blue}\gamma })}$, ${\displaystyle ({\color {blue}\gamma },{\color {green}\beta },{\color {red}\alpha })}$ και ${\displaystyle ({\color {red}\alpha },{\color {green}\beta },{\color {blue}\gamma })}$. Ενώ οι τριάδες ${\displaystyle ({\color {red}\alpha },{\color {green}\beta },{\color {red}\alpha })}$ και ${\displaystyle ({\color {orange}\delta },{\color {orange}\delta },{\color {red}\alpha })}$ δεν είναι διατάξεις, καθώς επαναλαμβάνουν στοιχεία.

Στις διατάξεις με επανάληψη, τα στοιχεία της ${\displaystyle k}$-άδας μπορεί να είναι τα ίδια. Στους συνδυασμούς ${\displaystyle n}$ ανά ${\displaystyle k}$, η σειρά των στοιχείων της ${\displaystyle k}$-άδας δεν έχει σημασία.

Πλήθος διατάξεων

Το πλήθος των διατάξεων ${\displaystyle n}$ στοιχείων ανά ${\displaystyle k}$ δίνεται από τον εξής τύπο:

${\displaystyle (n)_{k}=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)}$.

Η απόδειξη για αυτόν τον τύπο βασίζεται στις εξής παρατηρήσεις:

• Για την πρώτη θέση υπάρχουν ${\displaystyle n}$ δυνατά στοιχεία που μπορούμε να τοποθετήσουμε,
• Για την δεύτερη θέση υπάρχουν ${\displaystyle n-1}$ δυνατά στοιχεία (όλα εκτός από αυτό που τοποθετήσαμε στην πρώτη θέση),
• Για την τρίτη θέση υπάρχουν ${\displaystyle n-2}$ δυνατά στοιχεία
• ${\displaystyle \ldots }$
• Για την ${\displaystyle k}$-οστή θέση, υπάρχουν ${\displaystyle n-k+1}$ δυνατά στοιχεία.

Από την αρχή του γινομένου, πολλαπλασιάζοντας τις δυνατές επιλογές σε κάθε βήμα λαμβάνουμε το ζητούμενο πλήθος των δυνατών διατάξεων.

Υπενθυμίζοντας ότι το ${\displaystyle n}$ παραγοντικό ορίζεται ως

${\displaystyle n!=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1}$,

το πλήθος των διατάξεων μπορεί να εκφραστεί ως

${\displaystyle (n)_{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}.}$

Για ${\displaystyle n=k}$, οι διατάξεις ${\displaystyle n}$ ανά ${\displaystyle n}$ είναι οι μεταθέσεις και το πλήθος τους είναι ${\displaystyle n!}$.

Δείτε επίσης

• Διάταξη με επανάληψη
• Μετάθεση (μαθηματικά)
• Συνδυασμός

Παραπομπές

1. Αντωνίου, Ευστάθιος. «Μαθηματικά ΙΙΙ: Διακριτά Μαθηματικά» (PDF). Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Ηλεκτρονικών Συστημάτων. Ανακτήθηκε στις 1 Φεβρουαρίου 2023. 
2. Δημητράκος, Θεοδόσης. «Σημειώσεις για το μάθημα Στατιστική» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Ανακτήθηκε στις 1 Φεβρουαρίου 2023.