Ο Όμπλακ ξεκίνησε την καριέρα από την Ολίμπια Λιουμπλιάνα και υπέγραψε συμβόλαιο με την Μπενφίκα σε ηλικία 17 ετών. Ήταν μέλος της ομάδας που κατέκτησε το εγχώριο τρεμπλ τη σεζόν 2013–14. Τότε τον απέκτησε η Ατλέτικο Μαδρίτης για 16 εκατομμυρίων, το μεγαλύτερο ποσό που είχε δοθεί μέχρι τότε για τερματοφύλακα στη Λα Λίγκα.[3] Το 2015–16 κέρδισε το βραβείο Ρικάρντο Θαμόρα για καλύτερο τερματοφύλακα, έχοντας δεχτεί μόλις 18 γκολ σε 38 αγώνες, απόδοση ρεκόρ.[4] Κέρδισε το βραβείο και τις επόμενες τρεις σεζόν και το 2021. Ο Όμπλακ ήταν υποψήφιος για τη Χρυσή Μπάλα το 2017 και το 2018.
Με περισσότερες από 200 εμφανίσεις με την Ατλέτικο Μαδρίτης, ο Όμπλακ έχει κατακτήσει τρεις μεγάλους συλλογικούς τίτλους, συμπεριλαμβανομένου του ΟΥΕΦΑ Σούπερ Καπ το 2018, εναντίον της Ρεάλ Μαδρίτης.
Ο Όμπλακ πραγματοποίησε το ντεμπούτο του με την εθνική ομάδα της Σλοβενίας το 2012. Έχει 69 εμφανίσεις με το εθνόσημο.
