Αριθμός Μάρκοφ

Ο Ρώσος μαθηματικός και στοχαστής Αντρέι Αντρέγιεβιτς Μάρκοφ (1856–1922)

Αριθμός Μάρκοφ ή αριθμός Μάρκοβ (αγγλικά: Markov number ή πιο σπάνια Markow number και συχνά σε παλιές εκδόσεις Markoff number) είναι ένας θετικός ακέραιος x, y ή z που αποτελεί μέρος της λύσης της διοφαντικής εξίσωσης Μάρκοφ

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz,\,}$

η οποία μελετήθηκε από τον Αντρέι Μάρκοφ το 1879^[1] και το 1880.^[2]

Οι πρώτοι αριθμοί Μάρκοφ είναι

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ...^[3]

και εμφανίζονται ως συντεταγμένες των τριάδων Μάρκοφ (Markov triples)

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610), ...

Υπάρχουν άπειροι αριθμοί Μάρκοφ και τριάδες Μάρκοφ αντίστοιχα.

Δέντρο Μάρκοφ

Διάγραμμα: Τα πρώτα επίπεδα του αριθμητικού δέντρου Μάρκοφ

Υπάρχουν δύο απλοί τρόποι για να αποκτήσετε μία νέα τριάδα Μάρκοφ από μία παλιά (x, y, z). Πρώτον, μπορεί κανείς να ανταλλάξει τους τρεις αριθμούς x, y, z, έτσι ώστε, να μπορεί κανείς να κανονικοποιήσει τις τριάδες στη μορφή x ≤ y ≤ z. Δεύτερον, αν (x, y, z) είναι μια τριάδα Μάρκοφ μετά από ριζική αναστροφή (Vieta jumping) και ισχύει (x, y, 3xy − z). Εφαρμόζοντας αυτή τη λειτουργία επιστρέφει δύο φορές την ίδια τριάδα ξεκινώντας ομοίως την κάθε μία. Ενώνουμε με το 1, 2, ή 3 κάθε κανονικοποιημένη τριάδα Μάρκοφ και έτσι μπορεί κανείς να λάβει ομοίως κανονικοποιημένες τριάδες, καθώς δημιουργείται ένα γράφημα που αρχίζει από την (1,1,1), όπως στο διάγραμμα.

Αυτό το γράφημα είναι συνδεδεμένο με την (1,1,1) και με άλλα λόγια κάθε τριάδα Μάρκοφ, με μία αλληλουχία τέτοιων πράξεων, μπορεί να συνδεθεί με την (1,1,1).^[4] Αν για παράδειγμα αρχίσουμε με την (1, 5, 13) παίρνουμε τρεις γειτονικές της (5, 13, 194), (1, 13, 34) και (1, 2, 5) στο δέντρο Markov εάν το x έχει οριστεί σε 1, 5 και 13, αντίστοιχα. Για παράδειγμα, ξεκινώντας με την (1, 1, 2) και ανταλλάσσοντας τα y και z πριν από κάθε επανάληψη του μετασχηματισμού απαριθμούνται τριάδες Μάρκοφ με τους αριθμούς Φιμπονάτσι. Ξεκινώντας με την ίδια τριάδα και ανταλλάσσοντας τα x και z πριν από κάθε επανάληψη απαριθμούνται τριάδες με τους αριθμούς Πελ.

Όλοι οι αριθμοί Μάρκοφ για τις περιοχές που συνορεύουν με την περιοχή 2 είναι αριθμοί του Πελ με μονό δείκτη (ή οι αριθμοί n τέτοιοι ώστε 2n² − 1 να είναι ένα τετράγωνο),^[5] επίσης όλοι οι αριθμοί Μάρκοφ για τις περιοχές που συνορεύουν με την περιοχή 1 είναι αριθμοί του Φιμπονάτσι με μονό δείκτη.^[6] Έτσι, υπάρχουν άπειρες τριάδες Μάρκοφ της μορφής

${\displaystyle (1,F_{2n-1},F_{2n+1}),\,}$

όπου F_x είναι ο x-στός αριθμός Φιμπονάτσι. Ομοίως, υπάρχουν άπειρες τριάδες Μάρκοφ της μορφής

${\displaystyle (2,P_{2n-1},P_{2n+1}),\,}$

όπου P_x είναι ο x-στός αριθμός Πελ.^[7]

Άλλες ιδιότητες

Εκτός από τις δύο μικρότερες μοναχικές τριάδες (1,1,1) και (1,1,2), κάθε τριάδα Μάρκοφ αποτελείται από τρεις διακριτούς ακέραιους.^[8]

Η εικασία μοναδικότητας αναφέρει ότι για έναν δεδομένο αριθμό Μάρκοφ c, υπάρχει μία ακριβώς κανονικοποιημένη λύση που έχει τον αριθμό c ως το μεγαλύτερο στοιχείο της: ζητήθηκαν οι αποδείξεις αυτής της εικασίας, αλλά κανένας ως φαίνεται δεν τις έδωσε σωστά.^[9]

Οι μονοί αριθμοί Μάρκοφ είναι κατά 1 μεγαλύτεροι από τα πολλαπλάσια του 4, ενώ ακόμη και οι αριθμοί Μάρκοφ είναι κατά 2 μεγαλύτεροι από τα πολλαπλάσια των 32.^[10]

Το 1982 η εργασία του Don Zagier εικάζει ότι ο n-στός αριθμός Μάρκοφ δίνεται ασυμπτωτικά από

${\displaystyle m_{n}={\tfrac {1}{3}}e^{C{\sqrt {n}}+o(1)}}$  όπου  C = 2.3523418721...

Επιπλέον, τόνισε ότι

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz+4/9}$  (μια εξαιρετικά καλή προσέγγιση της αρχικής διοφαντικής εξίσωσης)

είναι ισοδύναμη με την

${\displaystyle f(x)+f(y)=f(z)}$  όπου  ${\displaystyle f(t)=arcosh(3t/2)}$ ^[11]

Η εικασία αποδείχθηκε, με χρήση τεχνικών από την υπερβολική γεωμετρία, από τους Greg McShane και Igor Rivin το 1995.^[12]

Ο n-στός αριθμός Lagrange μπορεί να υπολογιστεί από τον n-στό αριθμό Μάρκοφ με τον τύπο

${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}\,}$

όπου L_n ο n-στός αριθμός Lagrange και m_n ο n-στός αριθμός Μάρκοφ.^[13][14]

Θεώρημα Μάρκοφ

Ο Αντρέι Μάρκοφ το 1879^[1] και το 1880.^[2] έδειξε ότι αν

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}\,}$

είναι μια αόριστη δυαδική τετραγωνική μορφή με πραγματικούς συντελεστές και διακρίνουσα

${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$

τότε υπάρχουν ακέραιοι x, y για τους οποίους η f παίρνει το πολύ μία μη μηδενική τιμή της απολύτου τιμής

${\displaystyle {\frac {\sqrt {D}}{3}}}$

εκτός αν η f είναι μιας μορφής Μάρκοφ^[15] η οποία πολλαπλασιάζεται από μία σταθερά

${\displaystyle px^{2}+(3p-2a)xy+(b-3a)y^{2}\,}$

όπου (p, q, r) είναι μία τριάδα Μάρκοφ και

${\displaystyle 0<a<p/2,}$   ${\displaystyle aq\equiv \pm r{\bmod {p}},}$   ${\displaystyle bp-a^{2}=1\,}$

Πίνακες

Αν X και Y ανήκουν στο SL₂(C) τότε

${\displaystyle Tr(X)Tr(Y)Tr(XY)+Tr(XYX^{-1}Y^{-1})+2=Tr(X)^{2}+Tr(Y)^{2}+Tr(XY)^{2}}$

έτσι ώστε εάν

${\displaystyle Tr(XYX^{-1}Y^{-1})={-2}}$

τότε

${\displaystyle Tr(X)Tr(Y)Tr(XY)=Tr(X)^{2}+Tr(Y)^{2}+Tr(XY)^{2}}$

Ειδικότερα, εάν η X και Y έχουν επίσης ακέραιες καταχωρήσεις, τότε είναι μία τριάδα Μάρκοφ της μορφής

${\displaystyle Tr(X)/3,}$   ${\displaystyle Tr(Y)/3,}$   ${\displaystyle Tr(XY)/3}$

Αν XYZ = 1 τότε

${\displaystyle Tr(XY)=Tr(Z)}$

οπότε πιο συμμετρικά αν X, Y και Z ανήκουν στο SL₂(Z) με XYZ = 1 και ο μεταγωγέας των δύο εξ αυτών έχει ίχνος -2, τότε τα ίχνη τους προς 3 είναι μία τριάδα Μάρκοφ.

Περαιτέρω ανάγνωση

• Φάσμα Μάρκοφ

Παραπομπές

1. Μάρκοφ (1979), σσ. 381–406.
2. Μάρκοφ (1980), σσ. 379–399.
3. OEIS (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) A002559.
4. Cassels (1957) σελ. 28
5. OEIS A001653.
6. OEIS A001519.
7. OEIS A030452 κατάλογοι αριθμών Μάρκοφ που εμφανίζονται σε λύσεις, όπου ο ένας από τους άλλους δύο όρους είναι 5.
8. Cassels (1957) p.27
9. Guy (2004) p.263.
10. Zhang (2007), σσ. 295–301.
11. Zagier (1982), σσ. 709–723.
12. McShane (1995).
13. Cusick (1989).
14. Malyshev (2001).
15. Cassels (1957) p.39

Βιβλιογραφία

• Cassels, J.W.S. (1957). An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. 45. Cambridge University Press. Zbl 0077.04801. 
• Cusick, Thomas· Flahive, Mari (1989). The Markoff and Lagrange spectra. Math. Surveys and Monographs. 30. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1531-8. Zbl 0685.10023. 
• Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. σελίδες 263–265. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001. 
• Malyshev, A.V. (2001), «Markov spectrum problem», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=m/m062540 
• Markoff, Andrey. «Sur les formes quadratiques binaires indéfinies». Mathematische Annalen (Springer Berlin / Heidelberg). ISSN 0025-5831. 

1η καταχώρηση: Mathematische Annalen 15 (3–4): 381–406. 1η Σεπ. 1879. doi:10.1007/BF02086269. 

2η καταχώρηση: Mathematische Annalen 17 (3): 379–399. 1η Σεπ. 1880. doi:10.1007/BF01446234. 

• Greg McShane; Igor Rivin (1995). «Simple curves on hyperbolic tori». C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I. Math. 320 (12). 
• Zagier, Don B. (1982). «On the Number of Markoff Numbers Below a Given Bound». Mathematics of Computation 160 (160): 709–723. doi:10.2307/2007348. . https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1982-10_39_160/page/709. 
• Zhang, Ying (2007). «Congruence and Uniqueness of Certain Markov Numbers». Acta Arithmetica 128 (3): 295–301. doi:10.4064/aa128-3-7. . http://journals.impan.gov.pl/aa/Inf/128-3-7.html.