Weyl-Gleichung

Die Weyl-Gleichung der Teilchenphysik, benannt nach Hermann Weyl, ist die Diracgleichung für masselose Teilchen mit Spin 1/2. Genaugenommen handelt es sich um zwei jeweils zweidimensionale Gleichungen.^[1]

Die Weyl-Gleichung wird bei der Beschreibung der schwachen Wechselwirkung verwendet. Entsprechend heißen Fermionen, die diese Gleichung erfüllen, Weyl-Fermionen.

Weyl-Fermionen wurden erstmals 2015, 86 Jahre nachdem Hermann Weyl sie vorhergesagt hatte, experimentell nachgewiesen.^[2][3]

Formulierung

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {i} \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\Psi _{R}&=0\\\mathrm {i} {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\Psi _{L}&=0\end{aligned}}}$

mit

• der imaginären Einheit ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&+{\vec {\sigma }}\end{pmatrix}}}$
• ${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&-{\vec {\sigma }}\end{pmatrix}}}$
  • der zweidimensionalen Einheitsmatrix ${\displaystyle \sigma ^{0}}$
  • den drei zweidimensionalen Pauli-Matrizen ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$.

Bei physikalischen Experimenten, an denen die schwache Wechselwirkung beteiligt ist, kann man Neutrinos oft in sehr guter Näherung als Weyl-Fermionen beschreiben, d. h. als masselos. Da Neutrinos bei diesen Experimenten nur als linkshändige Teilchen mit negativer Helizität beobachtet werden, beschreibt in diesem Fall

• ${\displaystyle \Psi _{L}}$ das linkshändige Neutrino
• ${\displaystyle \Psi _{R}}$ das rechtshändige Antineutrino.

Herleitung

Die Darstellung der Lorentzgruppe auf Dirac-Spinoren ist reduzibel. In einer geeigneten Darstellung der Dirac-Matrizen, der Weyl-Darstellung, transformieren die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten der 4er-Spinoren getrennt, weshalb sie auch als Bispinoren bezeichnet werden:

${\displaystyle \Psi ={\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}}$

Die 2er-Spinoren ${\displaystyle \Psi _{L}}$ und ${\displaystyle \Psi _{R}}$ sind die links- und rechtshändigen Weyl-Spinoren. Sie sind die Eigenzustände des Chiralitätsoperators ${\displaystyle \gamma ^{5}}$, wenn man ihn in der Weyl-Darstellung schreibt:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{5}{\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\0\end{pmatrix}}&=-{\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\0\end{pmatrix}}\\\gamma ^{5}{\begin{pmatrix}0\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}&=+{\begin{pmatrix}0\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$.

Sie werden in der Diracgleichung für ein freies Spin-1/2-Teilchen durch die Masse ${\displaystyle m}$ gekoppelt:

${\displaystyle \left(\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\Psi ={\begin{pmatrix}-m&\mathrm {i} \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\\\mathrm {i} {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }&-m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}=0}$.

Verschwindet die Masse (${\displaystyle m=0}$), so entkoppelt die vierdimensionale Dirac-Gleichung in die beiden unter „Formulierung“ genannten Gleichungen für den links- und den rechtshändigen Spinor.

Chirale Kopplung

Bei der Beschreibung der elektroschwachen Wechselwirkung werden links- und rechtshändige Spinoren unterschiedlich, aber Lorentz-kovariant an Vektorfelder gekoppelt. Diese spezielle Art der Kopplung wird auch als chirale Kopplung bezeichnet. Sie entsteht, indem die Ableitungen nach den Koordinaten durch die folgende kovariante Ableitung ersetzt werden:

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-\mathrm {i} gT_{a}W_{\mu }^{a}}$

Dabei bezeichnen

• ${\displaystyle g}$ die Kopplungskonstante,
• ${\displaystyle T_{a}}$ die Generatoren der Lie-Algebra der Eichgruppe und
• ${\displaystyle W_{\mu }^{a}}$ die Komponenten der Eichfelder.

Die Eichgruppe kann für links- und rechtshändige Teilchen verschieden gewählt werden, ohne dass die Lorenz-Kovarianz dadurch beeinträchtigt wird.

Einzelnachweise

1. Lexikon der Physik: Weyl-Gleichung. Spektrum, abgerufen am 27. August 2024. 
2. Rainer Scharf: Weyl-Fermion mehrfach nachgewiesen. Welt der Physik, abgerufen am 27. August 2024. 
3. B. Q. Lv, H. M. Weng, B. B. Fu, X. P. Wang, H. Miao, J. Ma, P. Richard,1,2 X. C. Huang,1 L. X. Zhao, G. F. Chen, Z. Fang, X. Dai, T. Qian and H. Ding: Experimental Discovery of Weyl Semimetal TaAs. In: American Physical Society. 2015, doi:10.1103/PhysRevX.5.031013 (englisch).