Serre-Vermutung

Die Serre-Vermutung ist ein mathematischer Satz über Galois-Darstellungen und Modulformen, der im Jahr 2006 von Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger und Mark Kisin bewiesen wurde. Die Serre-Vermutung impliziert den Modularitätssatz und damit auch den großen Satz von Fermat. Die Serre-Vermutung geht auf eine Vermutung von Jean-Pierre Serre zurück.^[1][2]

Unabhängig von Khare und Wintenberger bewies auch Luis Dieulefait 2004 Spezialfälle der Serre-Vermutung, die für den Beweis des großen Satzes von Fermat ausreichen.

Formulierung

Die Vermutung betrifft Darstellungen (Galois-Darstellungen) der absoluten Galoisgruppe ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$ der rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Die absolute Galoisgruppe enthält alle Galoisgruppen von Automorphismen von algebraischen Zahlkörpern, die als endliche galoissche Erweiterungen des Körpers der rationalen Zahlen gegeben sind.

Sei ${\displaystyle \rho }$ eine absolut irreduzible, stetige und ungerade^[3] zweidimensionale Darstellung von ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$ über einem endlichen Körper

${\displaystyle F=\mathbb {F} _{l^{r}}}$

der Charakteristik ${\displaystyle l}$,

${\displaystyle \rho :G_{\mathbb {Q} }\rightarrow GL_{2}(F).\ }$

Nach der Vermutung von Serre wird jede solche Darstellung durch eine Darstellung im Raum der Spitzenformen zur Kongruenzuntergruppe ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ der Stufe ${\displaystyle N=N(\rho )}$, Gewicht ${\displaystyle k=k(\rho )}$, und Nebentypus^[4]

${\displaystyle \chi :\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} \rightarrow F^{*}\ }$

festgelegt, wobei Modulformen in Charakteristik ${\displaystyle l}$ mit Koeffizienten der Fourierentwicklung in ${\displaystyle F}$ betrachtet werden. Die Wirkung der absoluten Galoisgruppe in dieser Darstellung wird durch die Hecke-Operatoren beschrieben, linearen Abbildungen im Raum der Spitzenformen dieses Typs. Es gibt eine normierte Hecke-Eigenform, sie ist simultane Eigenfunktion aller Heckeoperatoren, mit der Fourierentwicklung

${\displaystyle f=q+a_{2}q^{2}+a_{3}q^{3}+\cdots \ }$

Spezielle Elemente der absoluten Galoisgruppe ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$, die Frobeniuselemente ${\displaystyle \operatorname {Frob} _{p}}$ zur Primzahl p, beinhalten wesentliche Informationen zur Arithmetik der Zahlkörper. Nach der Vermutung von Serre gilt weiter für alle Primzahlen ${\displaystyle p}$, teilerfremd zu ${\displaystyle N\,l}$:

${\displaystyle \operatorname {Trace} (\rho (\operatorname {Frob} _{p}))=a_{p}\ }$

und

${\displaystyle \det(\rho (\operatorname {Frob} _{p}))=p^{k-1}\chi (p).\ }$

Das heißt, Spur und Determinante – und damit im Wesentlichen die Wirkung der Frobeniusabbildung in der betrachteten Darstellung – werden durch die Hecke-Eigenform festgelegt. Serre vermutete sogar (und zeigte dies explizit an Beispielen), dass sich die Parameter der Darstellung ${\displaystyle \rho }$ (Stufe, Gewicht, Nebentypus) explizit berechnen lassen (starke Serre-Vermutung).

Es war bereits sehr lange durch tiefe Sätze von Gorō Shimura, Pierre Deligne, Barry Mazur und Robert Langlands^[5] bekannt, dass man jeder Hecke-Eigenform ${\displaystyle f\in S_{k}(N,\chi )}$ eine Darstellung (wie oben gefordert) zuordnen kann. Die Serre-Vermutung behauptet die Umkehrung: Jede irreduzible, stetige und ungerade Darstellung stammt von einer Modulform.

Literatur

Originalarbeiten der Beweise:

• Chandrashekhar Khare: Serre's modularity conjecture: The level one case, Duke Mathematical Journal, Band 134, 2006, S. 557–589
• Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger: Serre’s Modularity Conjecture, Teil 1,2, Inventiones Mathematicae, Band 158, 2009, S. 485–504, 505–586, Teil I (PDF-Datei; 344 kB), Teil II (PDF-Datei; 974 kB)
• Khare, Wintenberger: On Serre’s reciprocity conjecture for 2-dimensional mod p representations of Gal(${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} }$), Annals of Mathematics, Band 169, 2009, S. 229–253
• Luis Dieulefait: The level 1 weight 2 case of Serre's conjecture, Revista Matemática Iberoamericana, Band 23, 2007, S. 1115–1124.
• Mark Kisin: Modularity of 2-adic Barsotti-Tate representations, Inventiones Mathematicae, Band 178, 2009, S. 587–634, Preprints, Kisin

Zur Serre-Vermutung:

• William A. Stein, Ken Ribet: Lectures on Serre’s conjecture, in: Brian Conrad, Karl Rubin (Hrsg.), Arithmetical algebraic geometry (Park City 1999), IAS/Park City Lectures 9, American Mathematical Society, 2001, S. 143–232, pdf
• Gabor Wiese: Der Zusammenhang zwischen Modulformen und Zahlkörpern, Essener Unikate Nr. 33, 2007, pdf
• L. J. P. Kilford: Modular forms, Imperial College Press 2008, Kapitel 6.2 (Galois representations attached to mod p modular forms), S. 152ff

Einzelnachweise

1. Serre, Valeurs propres de opérateurs de Hecke modulo l, Astérisque, Band 24/25, 1975, S. 109–117
2. Serre, Sur les représentations modulaires de degré 2 de ${\displaystyle Gal({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )}$, Duke Mathematical Journal, Band 54, 1987, S. 179–230
3. Ungerade bedeutet, dass das Element der Galoisgruppe, das der komplexen Konjugation entspricht, in der Darstellung durch die Matrix -1 repräsentiert ist
4. Für die Definition der Begriffe siehe Modulform
5. Siehe Theorem 3.26 in Haruzo Hida: Modular Forms and Galois cohomology. Cambridge University Press, Cambridge 2000. 

Weblinks

• Serre's Modularity Conjecture 50-minütige Vorlesung von Ken Ribet vom 25. Oktober 2007 (Folien PDF, andere Version der Folien PDF)
• Gabor Wiese, Die Serresche Modularitätsvermutung und Computeralgebra, 2010, pdf