Semi-Markow-Prozess

Ein Semi-Markow-Prozess (SMP), auch bekannt als Markow-Erneuerungsprozess, ist eine Verallgemeinerung eines Markow-Prozesses. Im Unterschied zu einem Markow-Prozess, dessen Zustandsänderungen in gleichen Zeitabständen erfolgen, wird hierbei die Verweildauer in einem Zustand durch einen weiteren stochastischen Prozess gegeben.

Definition

In der Theorie der stochastischen Prozesse ist ein Semi-Markow-Prozess ${\displaystyle Z}$ gegeben durch ein Paar von Prozessen ${\displaystyle Z=(X,Y)}$. Dabei ist ${\displaystyle X}$ eine Markow-Kette mit Zustandsraum ${\displaystyle S}$ und Übergangsmatrix ${\displaystyle P}$ (sog. steuernde Kette). ${\displaystyle Y}$ ist ein Prozess, für den ${\displaystyle Y(n)}$ nur von ${\displaystyle r=X(n-1)}$ und ${\displaystyle s=X(n)}$ abhängt. Die Verteilungsfunktion ist dabei durch ${\displaystyle F_{rs}}$ gegeben.

Der Semi-Markow-Prozess ${\displaystyle Z}$ ist dann derjenige Prozess, dessen Zustand zum Zeitpunkt ${\displaystyle n}$ aus ${\displaystyle S}$ entsprechend ${\displaystyle X(n)}$ bestimmt ist. Die Verweildauer von ${\displaystyle X(n-1)}$ bis ${\displaystyle X(n)}$ ist dann gegeben durch ${\displaystyle Y(n)}$.

Eigenschaften

Da die Eigenschaften von ${\displaystyle Y}$ abhängig sind sowohl vom aktuellen Zustand ${\displaystyle X(n-1)}$ als auch vom Folgezustand ${\displaystyle X(n)}$ ist die Markow-Eigenschaft im Allgemeinen nicht erfüllt. Dennoch ist der Prozess ${\displaystyle W(n)=(X(n),Y(n))}$ ein Markow-Prozess. Dies erklärt auch den Namen Semi-Markow-Prozess.

Anwendungen

Systeme beispielsweise in der Warteschlangentheorie weisen Eigenschaften auf, die mit einfachen Markow-Prozessen nicht immer abgebildet werden können. Als Beispiel sei hier die Autokorrelation genannt. Um dies zu erreichen, werden oft Semi-Markow-Prozesse zur Modellierung der Ankunftsraten eingesetzt^[1].

Einzelnachweise

1. Kempken, Sebastian: Modellierung und verifizierte Analyse von zeitkorreliertem Datenverkehr im Internet VDI Verlag, Düsseldorf 2009, ISBN 978-3-18-380410-8