Seiberg-Witten-Invariante

In der Mathematik sind die Seiberg-Witten-Invarianten wichtige Invarianten differenzierbarer 4-Mannigfaltigkeiten. Zu ihren Anwendungen gehören der Beweis der Thom-Vermutung oder der Nichtexistenz von Metriken positiver Skalarkrümmung, Zerlegungen als zusammenhängender Summe oder symplektischer Strukturen auf verschiedenen 4-Mannigfaltigkeiten. Weiterhin können sie verschiedene Differentialstrukturen auf topologischen 4-Mannigfaltigkeiten unterscheiden.

Definition

Sei ${\displaystyle M}$ eine kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer Riemannschen Metrik und einer Spin^c-Struktur ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$ mit assoziierten Spinorbündeln ${\displaystyle W^{\pm }}$ und Determinantenbündel ${\displaystyle L}$.

Für eine generische selbst-duale 2-Form ${\displaystyle \eta }$ ist der Raum ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ der Lösungen der gestörten Seiberg-Witten-Gleichungen eine kompakte, orientierbare Mannigfaltigkeit der Dimension

${\displaystyle i({\mathfrak {s}}):={\frac {1}{4}}(c_{1}(L)^{2}-2\chi (M)-3sign(M))}$.

Die Eichgruppe ${\displaystyle {\mathcal {G}}=Map(M,S^{1})}$ und ihre Untergruppe ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\left\{u\in {\mathcal {G}}\colon u(x_{0})=1\right\}}$ wirken auf ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. Der Quotientenraum ${\displaystyle {\mathcal {M}}/{\mathcal {G}}_{0}}$ ist ein ${\displaystyle S^{1}}$-Hauptfaserbündel über ${\displaystyle {\mathcal {M}}/{\mathcal {G}}}$. Sei ${\displaystyle e\in H^{2}({\mathcal {M}}/{\mathcal {G}};\mathbb {Z} )}$ seine Eulerklasse.

Wenn ${\displaystyle b_{2}^{+}(M)-b_{1}(M)}$ ungerade ist, dann ist die Dimension von ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ eine gerade Zahl ${\displaystyle i(L)=2d}$. Man definiert dann

${\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}};g,\eta ):=\int _{\mathcal {M}}e^{d}}$.

Für ${\displaystyle b_{2}^{+}(M)\geq 2}$ hängt diese Invariante nicht von ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle \eta }$ ab und wird als Seiberg-Witten-Invariante ${\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}})}$ bezeichnet.

Eigenschaften

Im Folgenden sei stets ${\displaystyle b_{2}^{+}(M)-b_{1}(M)}$ ungerade und ${\displaystyle b_{2}^{+}(M)\geq 2}$. Eine Kohomologieklasse ${\displaystyle c\in H^{2}(M;\mathbb {Z} )}$ heißt Basisklasse, wenn es eine Spin^c-Struktur ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$ mit ${\displaystyle c_{1}(L)=c}$ und ${\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}})\not =0}$ gibt.

• Wenn ${\displaystyle f\colon M_{1}\to M_{2}}$ ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus ist, dann ist ${\displaystyle SW(M_{1},f^{*}{\mathfrak {s}})=SW(M,{\mathfrak {s}}).}$
• Für jede Basisklasse ${\displaystyle c}$ gilt ${\displaystyle c\cdot c\geq 2\chi (M)+3sign(M)}$.
• Für die duale Spin^c-Struktur ${\displaystyle {\mathfrak {s}}^{*}}$ gilt ${\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}}^{*})=(-1)^{\frac {\chi (M)+sign(M)}{4}}SW(M,{\mathfrak {s}}).}$
• ${\displaystyle M}$ hat nur endlich viele Basisklassen.
• Wenn ${\displaystyle M}$ eine Metrik positiver Skalarkrümmung besitzt, dann gilt ${\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}})=0}$ für alle ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$.
• Wenn ${\displaystyle M=X\sharp Y}$ für kompakte, orientierbare, glatte 4-Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle X,Y}$ mit ${\displaystyle b_{2}^{+}>0}$, dann gilt ${\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}})=0}$ für alle ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$.
• Wenn ${\displaystyle b_{1}(X)=b_{2}^{+}(X)=0}$ gilt und für eine Spin^c-Struktur ${\displaystyle {\mathfrak {s}}_{X}}$ mit ${\displaystyle c_{1}=c_{X}}$ die Ungleichung ${\displaystyle c\cdot c-2\chi (M)-3sign(M)+c_{X}\cdot c_{X}+b_{2}(X)\geq 0}$ gilt, dann ist ${\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}})=SW(M\sharp X,{\mathfrak {s}}\sharp {\mathfrak {s}}_{X})}$.
• Für eine eingebettete, kompakte, orientierbare Fläche ${\displaystyle \Sigma \subset M}$ des Geschlechts ${\displaystyle g(\Sigma )}$ gilt ${\displaystyle 2g(\Sigma )-2\geq \Sigma \cdot \Sigma +\vert c\cdot \Sigma \vert }$ für jede Basisklasse ${\displaystyle c}$.
• Wenn ${\displaystyle M}$ eine symplektische Mannigfaltigkeit mit kanonischer Spin^c-Struktur ${\displaystyle {\mathfrak {s}}_{can}}$ ist, dann ist ${\displaystyle SW(M,{\mathfrak {s}}_{can})=1}$.

Literatur

• John Morgan: Lectures on Seiberg-Witten invariants, Lecture Notes in Mathematics, 1629 (2nd ed.), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-41221-2
• Liviu Nicolaescu: Notes on Seiberg-Witten theory, Graduate Studies in Mathematics, 28, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2145-8
• Alexandru Scorpan: The wild world of 4-manifolds, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3749-8

Weblinks

• Dietmar Salamon: Spin geometry and Seiberg-Witten invariants