Satz von Cauchy (Geometrie)

Der Satz von Cauchy (auch Cauchy-Theorem, Cauchy`s Oberflächenformel) ist ein Resultat der Integralgeometrie, das auf den französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy zurückgeht und besagt, dass für jeden konvexen Körper der gemittelte Flächeninhalt seiner Parallelprojektionen in die Ebene stets ein Viertel seiner Oberfläche beträgt.

Anders formuliert: der Erwartungswert bei zufällig gewählter Projektionsrichtung für das Verhältnis zwischen dem Flächeninhalt der Projektion und dem Inhalt der Oberfläche des Ursprungskörpers beträgt ${\displaystyle 1/4}$.

Der Satz wurde von Cauchy 1841 und 1850 für ${\displaystyle n=2,3}$ bewiesen^[1][2] und im allgemeinen Fall von T. Kubota,^[3] Hermann Minkowski^[4] und Tommy Bonnesen.^[5][6][7]

Beispiele

Für eine Kugel ist die Gültigkeit trivial zu zeigen: das Abbild einer Kugel vom Radius ${\displaystyle r\,}$ bei paralleler Projektion in die Ebene ist stets ein Kreis vom gleichen Radius. Damit ist der Flächeninhalt jedes Bildes ${\displaystyle \pi r^{2}\,}$ und damit genau ein Viertel der Kugeloberfläche ${\displaystyle 4\pi r^{2}\,}$.

Die folgenden beiden Beispiele sollen lediglich den Sachverhalt verdeutlichen (die Werte in der rechten Spalte schwanken jeweils um den Wert ${\displaystyle 1/4}$):

• Das Bild eines Würfels mit Kantenlänge ${\displaystyle a}$ ist je nach Projektionsrichtung unterschiedlich:

Projektionsrichtung	Bild	Flächeninhalt des Bildes	Verhältnis zur Würfeloberfläche ${\displaystyle 6a^{2}\,}$
parallel zu einer Kante	ein Quadrat mit Seitenlänge ${\displaystyle a\,}$	${\displaystyle a^{2}\,}$	${\displaystyle 1:6\,}$
parallel zu einer Flächendiagonale	ein Rechteck mit Seitenlängen ${\displaystyle a\,}$ und ${\displaystyle a{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle a^{2}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 1:3{\sqrt {2}}\approx 1:4{,}2}$
parallel zu einer Raumdiagonale	ein regelmäßiges Sechseck mit Seitenlänge ${\displaystyle {\frac {a}{3}}{\sqrt {6}}}$	${\displaystyle a^{2}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1:2{\sqrt {3}}\approx 1:3{,}5}$
andere Richtungen	unregelmäßige (aber punktsymmetrische) Sechsecke	unterschiedlich	unterschiedlich

• Ebenso ist das Bild eines regelmäßigen Tetraeders mit Kantenlänge ${\displaystyle a}$ je nach Projektionsrichtung unterschiedlich:

Projektionsrichtung	Bild	Flächeninhalt des Bildes	Verhältnis zur Tetraederoberfläche ${\displaystyle {a^{2}}{\sqrt {3}}}$
entlang einer Kante	ein gleichschenkeliges Dreieck mit Basis ${\displaystyle a\,}$ und Höhe ${\displaystyle {\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 1:2{\sqrt {6}}\approx 1:4{,}90}$
parallel zu einer Höhe	ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge ${\displaystyle a\,}$	${\displaystyle {\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1:4\,}$
normal zu zwei windschiefen Kanten	ein Quadrat mit Seitenlänge ${\displaystyle {\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {a^{2}}{2}}}$	${\displaystyle 1:2{\sqrt {3}}\approx 1:3{,}46}$
andere Richtungen	unregelmäßige Dreiecke oder Vierecke	unterschiedlich	unterschiedlich

Verallgemeinerung

Im Fall eines konvexen Körpers im ${\displaystyle n}$-dimensionalen euklidischen Raum ist der Faktor 4 durch ${\displaystyle {\frac {nv_{n}}{v_{n-1}}}}$ zu ersetzen, wenn ${\displaystyle v_{n}}$ das Volumen der ${\displaystyle n}$-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.

Siehe auch

• Dispersitätsanalyse

Einzelnachweise

1. Cauchy, Note sur divers théorèmes à la rectification des courbes et à la quadrature des surfaces, Compte Rendu Acad. Sci., Band 13, 1841, S. 1060–1065
2. Cauchy, Mémoire sur la rectification des courbes et la quadrature des surfaces courbes, Mém. Acad. Sci., Band 22 (3), 1850
3. Kubota, Über konvex-geschlossene Mannigfaltigkeiten im n-dimensionalen Raum, Sci. Rep. Tohoku University, Band 14, 1925, S. 85–99
4. Minkowski, Theorie der konvexen Körper, insbesondere Begründung ihres Oberflächenbegriffs, Gesammelte Abhandlungen, Band 2, S. 131–229
5. Bonnesen, Les problèmes des isopérimètres et isoepiphanes, 1929
6. Ein Beweis findet sich zum Beispiel in Gian-Carlo Rota, Daniel Klain: Introduction to geometric probability, Cambridge UP 1997
7. Tsukerman, Veomett, A simple proof of Cauchy's surface area formula, Arxiv 2016