Grosche studierte Katholische Theologie an der Universität Bonn. 1908 trat er der katholischen Studentenverbindung AV Cheruscia Münster bei. Am 10. August 1912 wurde er zum Priester geweiht. Von 1920 bis 1930 war er Studentenpfarrer an der Universität Köln. Während dieser Zeit bereitete er seine Promotionsschrift vor, die er 1924 vorlegte.
Von 1954 bis zu seinem Tod war er Honorarprofessor an der Universität Köln. Er war Herausgeber der kontroverstheologischen Vierteljahresschrift Catholica.
Robert Grosche starb 1967 im Alter von 78 Jahren und wurde im Gemeinschaftsgrab der Kölner Pfarrer auf dem Melaten-Friedhof (MA bei Flur 68) begraben.[1]
