R-Matrix

In der statistischen Physik werden Matrizen ${\displaystyle R\in Mat(n)}$, welche der Yang-Baxter-Gleichung (nach C. N. Yang^[1] und Rodney Baxter^[2]):

${\displaystyle R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12}}$

genügen, als R-Matrizen bezeichnet.

In der Mathematik werden R-Matrizen zur Konstruktion von Quanteninvarianten in der Knotentheorie verwendet.

Beschreibung der Yang-Baxter-Gleichung in Koordinaten

Veranschaulichung der Yang-Baxter-Gleichung

Eine ${\displaystyle n^{2}\times n^{2}}$-Matrix ${\displaystyle R}$ mit Einträgen ${\displaystyle r_{ij}^{kl}}$ kann als Endomorphismus des ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}}$ mit Basis ${\displaystyle e_{i}\otimes e_{j}}$ aufgefasst werden, also

${\displaystyle R(e_{i}\otimes e_{j})=\sum _{k,l}r_{ij}^{kl}e_{k}\otimes e_{l}}$.

Die Yang-Baxter-Gleichung lässt sich schreiben als

${\displaystyle R^{12}R^{13}R^{23}=R^{23}R^{13}R^{12}}$,

wobei ${\displaystyle R^{ij}}$ der Endomorphismus von ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}}$ ist, der auf den Faktoren ${\displaystyle i,j}$ als ${\displaystyle R}$ wirkt und auf dem dritten Faktor als Identitätsabbildung. Also

${\displaystyle R^{12}=R\otimes id,R^{23}=id\otimes R}$

und

${\displaystyle R^{13}(e_{i}\otimes e_{j}\otimes e_{k})=\sum _{a,b}r_{ik}^{ab}e_{a}\otimes e_{j}\otimes e_{b}}$.

R-Matrizen in der Quantenmechanik

Ein eindimensionales quantenmechanisches System ist genau dann integrabel, wenn seine Streumatrix der Yang-Baxter-Gleichung genügt, also eine R-Matrix ist.

R-Matrizen in der Knotentheorie

Jede R-Matrix kann zur Konstruktion einer Quanteninvariante von Knoten verwendet werden.

Literatur

• Yang-Baxter equation. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.
• J. Park, H. Au-Yang: Yang-Baxter equations. In: J.-P. Françoise, G.L. Naber, Tsou S.T. (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematical Physics. Volume 5, Elsevier, Oxford 2006, ISBN 978-0-12-512666-3, S. 465–473.
• M. Jimbo: Quantum R matrix for the generalized Toda system. In: Comm. Math. Phys. 102, Nr. 4, 1986, S. 537–547, doi:10.1007/BF01221646.

Einzelnachweise

1. Yang, Some exact results for the many-body problem in one dimension with delta-function interaction, Phys. Rev. Lett., Band 19, 1967, S. 1312–1314, doi:10.1103/PhysRevLett.19.1312
2. Baxter, Solvable eight-vertex model on an arbitrary planar lattice, Phil. Trans. Royal Soc., Band 289, 1978, S. 315–346, doi:10.1098/rsta.1978.0062, JSTOR:75051