Primitive Matrix

Primitivität von Matrizen ist ein Konzept der linearen Algebra, welches insbesondere in der Theorie der positiven Eigenwerte Anwendung findet, siehe etwa Satz von Perron-Frobenius.

Definition

Eine quadratische Matrix ${\displaystyle X=(x_{ij})_{i,j}}$ heißt primitiv, wenn alle Einträge nichtnegativ sind und wenn es eine natürliche Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gibt, so dass alle Einträge von ${\displaystyle X^{n}}$ positiv sind.

Das kleinste solche ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ wird als Exponent ${\displaystyle \gamma (X)}$ der primitiven Matrix bezeichnet.

Eigenschaften

• Primitive Matrizen sind irreduzibel.
• Wenn die ${\displaystyle n\times n}$-Matrix ${\displaystyle A}$ irreduzibel ist, dann ist ${\displaystyle E_{n}+A}$ (die Summe mit der Einheitsmatrix) eine primitive Matrix.
• Für den Exponenten einer primitiven Matrix ${\displaystyle A}$ gilt ${\displaystyle \gamma (A)\leq (m-1)^{2}+1}$, wobei ${\displaystyle m}$ den Grad des Minimalpolynoms bezeichnet.^[1]

Beispiele

Die Matrix ${\displaystyle \left({\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}}\right)}$ ist irreduzibel, aber nicht primitiv. Die Matrix ${\displaystyle \left({\begin{matrix}0&1\\1&1\end{matrix}}\right)}$ ist primitiv.

Anwendungen

• Für primitive Matrizen gilt der Satz von Perron-Frobenius: der Spektralradius ist ein positiver, einfacher Eigenwert.
• Sei ${\displaystyle A}$ die Adjazenzmatrix eines Graphen. Dann ist ${\displaystyle A}$ genau dann primitiv, wenn der Graph zusammenhängend ist und es zwei Zykel teilerfremder Länge gibt.
• Primitive stochastische Matrizen sind in der Theorie der Markow-Ketten von Bedeutung.

Literatur

• E. Seneta: Non-negative matrices. An introduction to theory and applications. Halsted Press, New York, 1973.

Einzelnachweise

1. Jian Shen: Proof of a conjecture about the exponent of primitive matrices. Linear Algebra Appl. 216 (1995), 185–203.