Seit seinem zehnten Lebensjahr spielte Kukučka in der Jugend des slowakischen Spitzenclubs MŠK Považská Bystrica. Hier debütierte er auch im Profiteam und gewann die slowakische Meisterschaft 2002 und 2003. Eben 2003 zog er zum anderen Topclub des Landes, HT Tatran Prešov, wo er 2004 und 2005 erneut Meister wurde und in der EHF Champions League sogar auf die SG Flensburg-Handewitt und den THW Kiel traf. 2005 wechselte er ins Ausland zu Dunaferr SE in die ungarische Liga, wo er regelmäßig im EHF-Cup spielte. Im Sommer 2007 wechselte er dann zur HSG Nordhorn in die 1. Handball-Bundesliga. Ab Februar 2009 lief er für die Kadetten auf, mit denen er fünfmal Meister und zweimal Cupsieger wurde. Nach der Saison 2014/15 beendete er aus gesundheitlichen Gründen seine Karriere.[2]
Kukučka trainierte ab dem Saisonbeginn 2016/17 die U-19-Mannschaft der Kadetten Schaffhausen.[4] Ab Februar 2017 bis Dezember 2017 trainierte Kukučka zusätzlich die Männermannschaft der Kadetten Schaffhausen.[5][6] Im Mai 2019 übernahm Kukučka die slowakische Nationalmannschaft, die er bis März 2022 betreute.[7][8] Zur Saison 2022/23 übernahm er den Schweizer Erstligisten HC Kriens-Luzern.[9] Nach der Saison 2023/24 wird er den Verein verlassen.[10]
