Mollweide-Projektion

Mollweide-Projektion

Verzerrungen der Mollweide-Projektion verdeutlicht mit der Tissotschen Indikatrix

Die Mollweide-Projektion ist eine von Carl Brandan Mollweide entwickelte und 1805 veröffentlichte flächentreue Kartenprojektion, welche die gesamte Erdoberfläche als Ellipse darstellt.

Äquator und Mittelmeridian (oft der Nullmeridian) werden maßstabsgetreu als Geraden wiedergegeben. Breitenkreise werden als Geraden dargestellt, Meridiane als Ellipsen. Der dem Mittelmeridian gegenüberliegende Meridian bildet den Außenrand der Karte. Die Meridiane, welche um ±90° vom Mittelmeridian versetzt sind, bilden einen Kreis. Die Verzerrung nimmt mit zunehmendem Abstand vom Äquator und Mittelmeridian sehr stark zu.

Die ähnlich aussehende Hammer-Aitov-Projektion besitzt geringere Winkelverzerrungen und ist somit anschaulicher, dafür ist sie aufwändiger zu rechnen. Andererseits hat diese keine geradlinig-parallelen Breitenkreise, was beispielsweise für Zonenmodelle ungünstig ist. Daher ist die Mollweide-Projektion besonders für klimatologische, biologische und ähnliche Themenkarten weit verbreitet.

Es gibt eine zerlappte, flächen- und lagetreue Form nach J. P. Goode, die Goode-Homolosine-Projektion.

Transformation

Die Mollweide-Projektion lässt sich durch folgende Formeln beschreiben:^[1][2]

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=R{\frac {2{\sqrt {2}}}{\pi }}\left(\lambda -\lambda _{0}\right)\cos \theta ,\\[5px]y&=R{\sqrt {2}}\sin \theta ,\end{aligned}}}$

Dabei bezeichnen ${\displaystyle R}$ den Erdradius, ${\displaystyle \lambda }$ die Länge, ${\displaystyle \lambda _{0}}$ die Länge des Zentralmeridians und ${\displaystyle \varphi }$ die Breite. ${\displaystyle \theta }$ ist ein Hilfswinkel, der durch die Gleichung

${\displaystyle 2\theta +\sin 2\theta =\pi \sin \varphi \qquad (1)}$

festgelegt ist; diese transzendente Gleichung lässt sich mithilfe des Newton-Verfahrens lösen.

Die Karte hat den Flächeninhalt ${\displaystyle 4\pi R^{2}}$, wenn die gesamte Erdoberfläche dargestellt wird. Die x-Koordinate kann Werte zwischen ${\displaystyle -2R{\sqrt {2}}}$ und ${\displaystyle 2R{\sqrt {2}}}$ haben, die y-Koordinate Werte zwischen ${\displaystyle -R{\sqrt {2}}}$ und ${\displaystyle R{\sqrt {2}}}$.

Die Umkehrformeln lauten

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\arcsin {\frac {2\theta +\sin 2\theta }{\pi }},\\[5px]\lambda &=\lambda _{0}+{\frac {\pi x}{2R{\sqrt {2}}\cos \theta }}\end{aligned}}}$

mit

${\displaystyle \theta =\arcsin {\frac {y}{R{\sqrt {2}}}}.\,}$

Ähnliche Projektionen:

• 
  Homolosine (Zerlappung nach Goode),
  flächen- und lagetreu
• 
  Hammer-Aitov,
  flächentreu

Beispiele

• 
  Neunjährige WMAP-Aufnahme (2012) der kosmischen Mikrowellen-Hintergrundstrahlung^[3][4]
• 
  Vom Global Ocean Data Analysis Project (GLODAP) gemessene Freon-Werte an der Meeresoberfläche

Einzelnachweise

1. John P. Snyder, Map Projections - A Working Manual, Geological Survey Professional Paper 1395, 1987, S. 251
2. Weisstein, Eric W.: Mollweide Projection. In: MathWorld (englisch).
3. Megan Gannon: New 'Baby Picture' of Universe Unveiled. Space.com, 21. Dezember 2012, abgerufen am 21. Dezember 2012. 
4. C.L. Bennett, L. Larson, J.L. Weiland, N. Jarosk, N. Hinshaw, N. Odegard, K.M. Smith, R.S. Hill, B. Gold, M. Halpern, E. Komatsu, M.R. Nolta, L. Page, D.N. Spergel, E. Wollack, J. Dunkley, A. Kogut, M. Limon, S.S. Meyer, G.S. Tucker, E.L. Wright: Nine-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Final Maps and Results. In: The Astrophysical Journal Supplement Series. 208. Jahrgang, Nr. 2, 2013, S. 20, doi:10.1088/0067-0049/208/2/20, arxiv:1212.5225, bibcode:2013ApJS..208...20B. 

Weblinks

Commons: Mollweide-Projektion – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Mollweide Projection. In: MathWorld (englisch).