In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Mathieu-Gruppe M22 eine einfache Gruppe mit 443520 Elementen. Sie gehörte zu den ersten fünf im 19. Jahrhundert entdeckten sporadischen Gruppen, die heute als Mathieu-Gruppen bezeichnet werden. Namensgeber ist der französische Mathematiker Émile Léonard Mathieu.
Konstruktion
Sei
der Körper mit 4 Elementen und
die projektive Ebene über
.
Wir definieren ein System
,
- dessen “Punkte” die Punkte aus
und zusätzlich ein Punkt
sind,
- dessen “Standardblöcke” die um
ergänzten Geraden aus
sind,
- dessen “Nichtstandardblöcke” die Bilder des Ovals
unter der Wirkung der projektiven speziellen Gruppe
sind.
Die Menge der Punkte wird mit
bezeichnet, die Menge der Blöcke (standard oder nichtstandard) mit
. Als Automorphismus von
bezeichnet man Permutationen von
, die Mengen aus
auf Mengen aus
abbilden. Ein gerader Automorphismus ist ein Automorphismus, der eine gerade Permutation von
ist.
Die Mathieu-Gruppe
ist die Gruppe der geraden Automorphismen von
.
Sie wirkt 3-transitiv auf
und transitiv auf
.
Literatur
- Oleg Bogopolski: Introduction to Group Theory. EMS Textbooks in Mathematics. Zürich: European Mathematical Society 2008, ISBN 978-3-03719-041-8/hbk