Geschlossene Jordankurve Offene Jordankurve Kurve, die keine offene Jordankurve ist Jordan-Kurven (bzw. einfache Kurven ) sind nach Camille Jordan benannte mathematische Kurven , die als eine homöomorphe Einbettung des Kreises
S
1
{\displaystyle S_{1}}
I
1
=
[
0
;
1
]
{\displaystyle I_{1}=[0;1]}
topologischen Raum definiert sind. (Die homöomorphe Einbettung von
I
1
{\displaystyle I_{1}}
S
1
{\displaystyle S_{1}}
Anschaulich heißt das, dass es sich um Kurven handelt, die stetig und schnittpunktfrei sind und einen Anfangs- und einen Endpunkt besitzen. Der Begriff der Jordan-Kurve wird auch zur Definition planarer Graphen verwendet.
Beispiele
Der Einheitskreis mit der Parametrisierung
φ φ -->
(
t
)
=
(
cos
-->
(
t
)
,
sin
-->
(
t
)
)
{\displaystyle \varphi (t)=(\cos(t),\sin(t))}
t
∈ ∈ -->
[
0
,
2
π π -->
]
{\displaystyle t\in [0,2\pi ]}
ist eine geschlossene Jordankurve.
Der Weg
φ φ -->
(
t
)
=
(
cos
-->
(
t
)
,
sin
-->
(
t
)
)
{\displaystyle \varphi (t)=(\cos(t),\sin(t))}
t
∈ ∈ -->
[
0
,
3
π π -->
]
{\displaystyle t\in [0,3\pi ]}
liefert auch den Einheitskreis, ist aber in dieser Parametrisierung keine Jordankurve, da z. B.
φ φ -->
(
1
)
=
φ φ -->
(
2
π π -->
+
1
)
{\displaystyle \varphi (1)=\varphi (2\pi +1)}
Das Einheitsquadrat ist eine Jordankurve, die aber mit keiner Parametrisierung glatt ist.
Die Strecke
φ φ -->
(
t
)
=
(
t
,
0
)
{\displaystyle \varphi (t)=(t,0)}
t
∈ ∈ -->
[
0
,
1
]
{\displaystyle t\in [0,1]}
ist eine (offene) Jordankurve.
Siehe auch
Literatur
Weblinks
![{\displaystyle I_{1}=[0;1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a800ceca742d76a6f4dd46ac07eb4c198f39ad91)
![{\displaystyle t\in [0,2\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dbc9ed8510c75442ce1d2e73f021258fc7e04c6)
![{\displaystyle t\in [0,3\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88d2f64d319a737fa3a38ff186aab9ee78cdda40)
![{\displaystyle t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a5c18739ff04858eecc8fec2f53912c348e0e5)
