Bereits in frühester Kindheit begann sie mit dem Turnen und bestritt 1934 ihren ersten Wettkampf.[2] Nach der Schulzeit folgten zunächst das verbindliche Pflichtjahr und später der Arbeitsdienst. Im Jahr 1945 schloss sie in Stuttgart ihre Ausbildung zur Sportlehrerin ab.[2] Danach zog sie nach Weißenfels, wo sie sich dem Handball widmete, da Turnen von den Besatzungsmächten als vermeintliche „Wehrertüchtigung“ verboten worden war. Mit Wegfall des Verbots 1947 begann sie wieder mit dem Turnen. Ab dem Jahr 1950 studierte sie an der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg. Das Studium schloss sie mit dem Staatsexamen ab und arbeitete danach als Ausbilderin für Sportlehrer am 1948 gegründeten Institut für Körpererziehung.[3] Als Autorin wirkte sie an der Entstehung des Lehrbuchs Gerätturnen mit.[2]
Bekannt wurde Quaas 2012 durch mehrere YouTube-Videos, die sie bei Auftritten beim Turnier der Meister in der CottbuserLausitz-Arena zeigten. Die Videos entwickelten sich zu Viralclips und erreichten binnen kürzester Zeit mehrere Millionen Aufrufe.[4][5] Es folgten zahlreiche Fernseh- und Zeitungsberichte in deutschen und internationalen Medien, darunter Berichte bei den amerikanischen Fernsehsendern NBC und ABC sowie ein Auftritt bei Gottschalk Live. Auch in zahlreichen chinesischen Zeitungen wurde über die deutsche Turnerin berichtet.[6]
2015 wurde Johanna Quaas mit dem Nadia Comaneci Sportsmanship Award in der International Gymnastics Hall of Fame als älteste Wettkampfturnerin in Oklahoma geehrt.
Für Queen Elisabeth II. – beide waren zu diesem Zeitpunkt neunzig Jahre alt – sprang Johanna Quaas am 5. Juni 2016 aus 3000 m Höhe am Flugplatz Böhlen mit dem Fallschirm ab. Ihr Tandempartner war Eberhard Gienger.[8] Im Gegensatz zur Queen, die anlässlich der Olympischen Sommerspiele 2012 in London zur Eröffnungsfeier gemeinsam mit James-Bond-Darsteller Daniel Craig beim Fallschirmabsprung gedoubelt wurde, bewies Johanna Quaas die Echtheit des Absprungs.
Am 24. Juni 2017 nahm Johanna Quaas im Nordbad in Halle (Saale) am Prominetenspringen beim Sprung meines Lebens by Andreas Wels teil.[9]