Ab Mitte der 1980er Jahre hatte er erste Fernsehrollen, unter anderem in der SeifenoperSearch for Tomorrow. 1985 spielte er die Titelrolle des Remo Williams in der Pilotfolge der gleichnamigen Serie, die auf dem SpielfilmRemo – unbewaffnet und gefährlich mit Fred Ward in der Hauptrolle basierte. Die Serie wurde nie gedreht, allerdings konnte er seine Karriere Ende der 1980er Jahre mit Rollen in den Spielfilmen Johnny Handsome – Der schöne Johnny und Der Chaoten-Cop weiterführen. In der Folge arbeitete Meek zumeist in US-amerikanischen Fernsehserien, darunter in wiederkehrenden Rollen in The Exile und Mortal Kombat. Eine Hauptrolle hatte er 1992–1993 zusammen mit Lee Majors in der Serie Raven, in Gastauftritten war er unter anderem in Pretender und Charmed – Zauberhafte Hexen zu sehen. Von 2006 bis 2007 spielte er in 92 Folgen die Rolle des Craig Montgomery in der CBS-Seifenoper Jung und Leidenschaftlich.
Meek ist ein ausgebildeter Kampfsportler und hält Gürtel in Taekwondo und Aikido. Außerdem gibt er Schauspielunterricht.
