Geboren als Sohn des Architekten Erich Elingius studierte er von 1931 bis 1934 an der Technischen Hochschule Dresden und setzte das Studium von 1935 bis 1938 an der Technischen Hochschule Stuttgart bei Paul Bonatz fort. Nach einer Praktikantenzeit im Hamburger Hochbauamt war er von 1939 bis 1945 als Soldat im Zweiten Weltkrieg. 1946 trat er in das Architekturbüro Schramm & Elingius ein, das sein Vater zusammen mit Gottfried Schramm führte. Nach dem Tode seines Vaters 1948 führte er das Büro mit Schramm fort. 1956 traten auch Jost Schramm und Harald Peters in die Gemeinschaft ein. Nach der Auflösung der Architektengemeinschaft setzte Elingius seine Tätigkeit von 1965 bis 1970 mit Günter Niggemann und von 1972 bis 1978 mit Dieter Iseler und Hubert Marady fort. 1983 beendete er seine Berufstätigkeit.
