Krog war der Sohn von Cecilie Thoresen, der ersten Studentin Norwegens, und des Juristen Fredrik Arentz Krog. Von 1907 bis 1911 studierte er in Kristiania Volkswirtschaft. Danach arbeitete er als Journalist für die Zeitungen Verdens Gang, Dagbladet und Arbeiderbladet. In dieser Zeit kam er mit Gunnar Heiberg und Olaf Bull in Kontakt, die ihn stark beeinflussten. 1917 debütierte er als Dramatiker mit Det store Vi. Seine Werke sind von sozialistischen Ideen geprägt.
1923 schloss sich Krog Mot Dag, einer Organisation kommunistischer Intellektueller, an. Während des Zweiten Weltkriegs lebte er in Schweden und war als Redakteur für die norwegische Zeitschrift Håndslag tätig. Nach Kriegsende wurde er Mitarbeiter der linken Zeitung Orientering. Er veröffentlichte die Abhandlung 6te kolonne, in der er norwegische Industrielle verurteilte, die mit den Nationalsozialisten zusammengearbeitet hatten. Außerdem war er ein Kritiker der norwegischen NATO-Mitgliedschaft.
