Gromovs Satz über Betti-Zahlen

In der Mathematik ist Gromovs Satz über Betti-Zahlen ein Lehrsatz der globalen riemannschen Geometrie von Michail Leonidowitsch Gromow.

Satz

Sei ${\displaystyle M}$ eine ${\displaystyle n}$-dimensionale vollständige riemannsche Mannigfaltigkeit nichtnegativer Schnittkrümmung. Dann gilt für die Betti-Zahlen (mit Koeffizienten in einem beliebigen Körper ${\displaystyle F}$):

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}b_{i}(M;F)\leq 10^{10n^{4}}}$.

(Gromovs ursprüngliche Abschätzung war doppelt-exponentiell^[1], die obige Verbesserung geht auf Abresch^[2] zurück. Die vermutete optimale rechte Seite ist ${\displaystyle 2^{n}}$.)

Allgemeiner beweist Gromov, dass für eine ${\displaystyle n}$-dimensionale geschlossene riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung ${\displaystyle K\geq -\kappa ^{2}}$ und Durchmesser ${\displaystyle D}$ die Ungleichung

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}b_{i}(M;F)\leq C^{1+\kappa D}}$

für eine Konstante ${\displaystyle C}$ gilt.

Weblinks

• Kapitel 2 in Wilking: Nonnegatively and positively curved manifolds
• Weiss: Curvature and finite domination

Einzelnachweise

1. M. Gromov, Curvature, diameter and Betti numbers, Comment. Math. Helv. 56 (1981), no. 2, 179–195. (online)
2. U. Abresch, Lower curvature bounds, Toponogov’s theorem, and bounded topology. II. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 20 (1987), no. 3, 475–502.