Nach der Priesterweihe war Piccinotti zunächst Ökonom der Salesianerkommunitäten in Lugano (2007–2011 und 2016–2017) und in Mailand (2011–2015). Von 2011 bis 2017 war er in dieser Funktion auch für die Ordensprovinz tätig.[1] Zudem leitete er die Fondazione Opera Don Bosco nel Mondo in Lugano und die Fondazione Opera Don Bosco in Mailand. Außerdem war er Prokurator der Stiftung des Istituto Elvetico der Salesianer in Lugano. Anschließend fungierte Piccinotti als Schatzmeister des Verwaltungsrats der NichtregierungsorganisationVolontariato Internazionale per lo Sviluppo (VIS). Darüber hinaus gehörte er dem Beirat der Stiftung Don Bosco in der Welt in Schaan an.[2]
PapstFranziskus ernannte ihn am 6. Januar 2023 zum Untersekretär der Güterverwaltung des Apostolischen Stuhls[2] und am 2. Oktober desselben Jahres schließlich zu deren Präsidenten.[3] Am 15. November 2023 berief ihn Papst Franziskus zudem zum Präsidenten des Verwaltungsrats der Fondazione per la Sanità Cattolica[4] und am 16. Dezember desselben Jahres zum Mitglied der Kommission für die vorbehaltenen Wirtschaftsangelegenheiten.[5] Am 31. Januar 2024 ernannte ihn Papst Franziskus zudem zum Titularerzbischof von Gradisca.[6]