George Osborne war der zweitälteste Sohn von George Osborne, 9. Duke of Leeds, und Frances Georgiana Pitt-Rivers (1836–1896), einer Tochter von George Pitt-Rivers, 4. Baron Rivers. Sein älterer Bruder George Frederick war wenige Tage nach seiner Geburt 1861 verstorben. Osborne hatte daneben noch fünf jüngere Schwestern, Harriet Castalia (1867–1922), Alice Susan (1869–1951), Ada Charlotte (1870–1944), Alexandra Louisa (1872–1938) und Constance Blanche (1875–1939), und zwei jüngere Brüder, Francis (1864–1924) und Albert Edward (1866–1914).
Osborne heiratete 1884 Lady Katherine Frances Lambton, eine Tochter von George Lambton, 2. Earl of Durham, und Lady Beatrix Frances Hamilton. Sie hatten insgesamt fünf Kinder:
Beim Tod seines Vaters im Jahre 1895 erbte er den Titel des Duke of Leeds. Mit dem Duketitel war ein erblicher Sitz im House of Lords verbunden, seinen Sitz im House of Commons musste er hierfür aufgeben. Von 1895 bis 1896 bekleidete er das Hofamt des Treasurer of the Household. Von 1921 bis 1922 war er als Aide-de-camp persönlicher Adjutant von König Georg V. Er starb 1927 im Alter von 64 Jahren. Sein Sohn John Francis Godolphin Osborne folgte ihm als 11. Duke of Leeds.