Baumbauer war von 1970 bis 1972 Regieassistent am Düsseldorfer Schauspielhaus und wechselte im Anschluss an das Bayerische Staatsschauspiel, wo er von 1972 bis 1974 als Regieassistent tätig war. Seit 1974 dort Regisseur, war er seit 1975 Leiter des künstlerischen Betriebsbüros, ab 1980 zusätzlich persönlicher Mitarbeiter des Intendanten Kurt Meisel und avancierte 1983 zum Schauspieldirektor des Hauses.
In dieser Funktion engagierte er Autoren und Regisseure wie Herbert Achternbusch, Werner Schroeter und den Kabarettisten Gerhard Polt und verteidigte sie gegen Angriffe. Er kündigte 1986, nachdem die CSU politische Improvisationen von Josef Bierbichler scharf angegriffen hatte.
Aufgrund der gegebenen finanziellen und personellen Möglichkeiten verlängerte er seinen Vertrag nicht über die Spielzeit 1992/93 hinaus, sondern trat, von drei Städten umworben, 1993 die Nachfolge von Michael Bogdanov als Intendant des Hamburger Schauspielhauses an. In dieser Funktion setzte er auf ein festes Ensemble und die Zusammenarbeit mit prägenden Autoren wie Elfriede Jelinek und Rainald Goetz. Zu den von ihm neu verpflichteten Regisseuren zählten Anselm Weber, Matthias Hartmann, Karin Beier, Frank Castorf, Johann Kresnik, Christoph Schlingensief und Thomas Ostermeier. Während Baumbauers siebenjähriger Intendanz wurde das Hamburger Schauspielhaus zu einer Spielstätte für risikoreiches zeitgenössisches Theater und neue Theaterformen. In seiner Ära wurde das Hamburger Schauspielhaus 1994, 1996, 1997 und 2000 von der Zeitschrift Theater heute zum Theater des Jahres gewählt.
Nina Grabe: Baumbauer, Frank. In: Manfred Brauneck, Wolfgang Beck (Hg.): Theaterlexikon 2. Schauspieler und Regisseure, Bühnenleiter, Dramaturgen und Bühnenbildner. Rowohlts Enzyklopädie im Rowohlt Taschenbuch Verlag. Reinbek bei Hamburg, August 2007, ISBN 978 3 499 55650 0, S. 45 f.