Fast-Kontaktmannigfaltigkeit

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine Fast-Kontaktmannigfaltigkeit eine ${\displaystyle (2n+1)}$-dimensionale Mannigfaltigkeit, deren Tangentialbündel eine Reduktion zur Strukturgruppe ${\displaystyle U(n)\times \mathbb {R} }$ erlaubt. Zum Beispiel sind orientierte reelle Hyperflächen in komplexen Mannigfaltigkeiten Fast-Kontaktmannigfaltigkeiten. Fast-Kontaktmannigfaltigkeiten sind eine Verallgemeinerung von Kontaktmannigfaltigkeiten und wurden 1960 von Shigeo Sasaki eingeführt.

Definitionen

Fast-Kontaktmannigfaltigkeiten sind ${\displaystyle (2n+1)}$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}$, deren Tangentialbündel eine Reduktion zur Strukturgruppe ${\displaystyle U(n)\times \mathbb {R} }$ erlaubt. Äquivalent sind sie gegeben durch ein Hyperebenenfeld ${\displaystyle Q}$, eine fast-komplexe Struktur ${\displaystyle J\colon Q\to Q}$ und ein zu ${\displaystyle Q}$ transversales Vektorfeld ${\displaystyle \xi }$.

Für eine Kontaktmannigfaltigkeit mit Kontaktform ${\displaystyle \alpha }$, Kontaktfeld ${\displaystyle Q=ker(\alpha )}$ und Reeb-Vektorfeld ${\displaystyle \xi }$ ist die Einschränkung von ${\displaystyle d\alpha }$ auf ${\displaystyle Q}$ eine symplektische Form, durch die (mit Hilfe einer beliebigen Riemannschen Metrik) eine fast-komplexe Struktur auf ${\displaystyle Q}$ und damit eine fast-Kontaktstruktur definiert werden kann.

Äquivalent kann man eine Fast-Kontaktstruktur auf ${\displaystyle M}$ definieren durch ein Vektorfeld ${\displaystyle \xi }$, eine 1-Form ${\displaystyle \eta }$ und eine faserweise lineare Abbildung ${\displaystyle \phi \colon TM\to TM}$ mit den punktweisen Bedingungen ${\displaystyle \eta (\xi )=1}$ und ${\displaystyle \eta (v)\xi =\phi (\phi (v))+v}$ für alle ${\displaystyle v\in TM}$. Man definiert dann ${\displaystyle Q=ker(\eta )}$ und ${\displaystyle J=\phi \mid _{Q}}$. Umgekehrt erhält man ${\displaystyle \eta }$ und ${\displaystyle \phi }$ zu einer Fast-Kontaktstruktur durch die Bedingungen ${\displaystyle \eta (\xi )=1,\phi (\xi )=0}$ sowie ${\displaystyle \eta (u)=0}$ und ${\displaystyle \phi (u)=J(u)}$ für ${\displaystyle u\in Q}$.

Literatur

• S. Sasaki: On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structures. Tohoku Mathematical Journal 12, 459-476 (1960)