Bjørn Sundquist ist mütterlicherseits samischer Abstammung. Während seiner Jugend spielte er als Gitarrist in unterschiedlichen Bands. Als Schauspieler zeigte er in unterschiedlichen Rollen immer wieder seine Fähigkeiten als Gitarrist. Seine Schauspielausbildung absolvierte er in Oslo. Seit 1972 ist er als Theaterschauspieler tätig und war unter anderem am Det Norske Teatret und am Nationaltheatret als festes Ensemblemitglied engagiert. 2017 wurde er mit dem Ehrenpreis des Heddaprisen ausgezeichnet.
Sein Leinwanddebüt gab er 1979 in dem von Pål Bang-Hansen inszenierten Drama Kronprinsen. Er spielte die Hauptrolle des Roald, der versucht, seine politische Laufbahn gegenüber korrupten Politikern zu schützen. Seitdem war er in mehr als 130 Film- und Fernsehproduktionen tätig. Sechs Mal wurde er für den norwegischen Filmpreis Amanda als Bester Hauptdarsteller nominiert; dabei wurde er vier Mal, nämlich für Der Fall Feldmann, Sonntagsengel, Sejer – se deg ikke tilbake und Kill Billy, ausgezeichnet.
Sundquist ist seit 1971 verheiratet. Das Paar hat einen gemeinsamen Sohn.
