Biharmonische Abbildung

In der Mathematik ist die biharmonische Abbildung eine Verallgemeinerung des Begriffs der harmonischen Abbildung.

Eine Abbildung zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle u\colon M\to N}$ heißt biharmonisch, wenn sie ein kritischer Punkt des Bi-Energie-Funktionals

${\displaystyle E_{2}(u):={\frac {1}{2}}\int _{M}\vert \Delta u\vert ^{2}dv_{g}={\frac {1}{2}}\int _{M}\vert \nabla _{e_{i}}Du(e_{i})\vert dv_{g}}$

ist. Äquivalent muss ${\displaystyle u}$ die Euler-Lagrange-Gleichung

${\displaystyle \Delta ^{2}u+R^{N}(Du(e_{i}),\Delta u)Du(e_{i})=0}$

mit dem Riemannschen Krümmungstensor ${\displaystyle R^{N}}$ erfüllen.

Für harmonische Abbildungen nimmt ${\displaystyle E_{2}(u)}$ das globale Minimum ${\displaystyle E_{2}(u)=0}$ an, weshalb harmonische Abbildungen biharmonisch sind. Wenn die Schnittkrümmung von ${\displaystyle N}$ nichtpositiv ist, gilt auch die Umkehrung. Ohne diese Voraussetzung gibt es im Allgemeinen aber biharmonische Abbildungen, die nicht harmonisch sind.

Siehe auch

• Bi-Yang-Mills-Gleichungen, nichtlineare Verallgemeinerung

Literatur

• Guoying Jiang: 2-harmonic maps and their first and second variational formulas. Chin. Ann. Math., Ser. A 7, 389–402 (1986).