Bers-Schnitt

Bers-Schnitt des (2-dimensionalen) Teichmüllerraums des punktierten Torus.

In der Mathematik sind Bers-Schnitte (engl. Bers slices) die Bilder gewisser Einbettungen des Teichmüller-Raums in den Raum der quasifuchsschen Gruppen. Sie haben oft eine fraktale Gestalt.

Bers-Schnitte und die mit ihrer Hilfe definierte skinning map spielen eine Rolle in vielen Beweisen der niedrig-dimensionalen Geometrie, zum Beispiel in Thurstons Beweis der Geometrisierung von Haken-Mannigfaltigkeiten.

Konstruktion

Sei ${\displaystyle S}$ eine geschlossene Fläche und ${\displaystyle \Gamma }$ die zugehörige Flächengruppe. Man bezeichnet mit ${\displaystyle {\mathcal {T}}(\Gamma )}$ den Teichmüller-Raum von ${\displaystyle S}$ und mit ${\displaystyle QF(\Gamma )}$ den Raum aller derjenigen Homomorphismen ${\displaystyle \Gamma \to PSL(2,\mathbb {C} )}$, deren Bild eine quasifuchssche Gruppe ist.

Simultane Uniformisierung gibt eine Bijektion

${\displaystyle QF(\Gamma )={\mathcal {T}}(\Gamma )\times {\mathcal {T}}(\Gamma )}$.

Für ein fixiertes ${\displaystyle X\in {\mathcal {T}}(\Gamma )}$ heißt dann die

${\displaystyle {\mathcal {T}}(\Gamma )\times \left\{X\right\}}$

entsprechende Teilmenge von ${\displaystyle QF(\Gamma )}$ der (zu ${\displaystyle X}$ gehörende) Bers-Schnitt.

Bers-Kompaktifizierung

Mittels der Einbettung von ${\displaystyle QF(\Gamma )}$ in den Modulraum ${\displaystyle AH(\Gamma )}$ der markierten hyperbolischen Mannigfaltigkeiten homotopieäquivalent zu ${\displaystyle S\times \left[0,1\right]}$ kann man den Bers-Schnitt in diesen Modulraum einbetten. Sein Bild ist relativ kompakt, seine Kompaktifizierung heißt Bers-Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums.

Kerckhoff und Thurston haben bewiesen, dass die Wirkung der Abbildungsklassengruppe auf der Bers-Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums nicht stetig ist. Insbesondere stimmt die Bers-Kompaktifizierung nicht mit Thurstons Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums überein.

Skinning map

Für eine geometrisch endliche hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ gibt ihr konformer Rand einen Punkt im Teichmüller-Raum ${\displaystyle {\mathcal {T}}(\partial M)}$. Andererseits ist das Bild ${\displaystyle \Gamma }$ von ${\displaystyle \pi _{1}\partial M\to \pi _{1}M}$ eine quasifuchssche Gruppe und gibt somit einen Punkt in ${\displaystyle QF(\Gamma )={\mathcal {T}}(\Gamma )\times {\mathcal {T}}(\Gamma )}$. Die so definierte Abbildung

${\displaystyle {\mathcal {T}}(\Gamma )\to {\mathcal {T}}(\Gamma )\times {\mathcal {T}}(\Gamma )}$

ist auf der ersten Komponente die Identitätsabbildung, ist also von der Form

${\displaystyle X\to (X,\sigma _{M}(X))}$.

Die Abbildung

${\displaystyle \sigma _{M}\colon {\mathcal {T}}(\Gamma )\to {\mathcal {T}}(\Gamma )}$

heißt skinning map.

Thurstons Bounded Image Theorem besagt, dass das Bild der skinning map endlichen Durchmesser hat. Es ist ein wesentlicher Schritt beim Beweis der Hyperbolisierung von Haken-Mannigfaltigkeiten.

Literatur

• Lipman Bers: Uniformization, moduli, and Kleinian groups. Bull. London Math. Soc. 4 (1972), 257–300. pdf
• Komori-Sugawa: Bers embedding of the Teichmüller space of a once-punctured torus. Conform. Geom. Dyn. 8 (2004), 115–142 pdf
• Komori-Sugawa-Wada-Yamashita: Drawing Bers embeddings of the Teichmüller space of once-punctured tori. Experiment. Math. 15 (2006), no. 1, 51–60. pdf