Annika Meyer spielte anfangs im Jugendbereich vom dänischen Verein SønderjyskE.[3] Im Sommer 2012 schloss sich die Kreisläuferin dem dänischen Erstligisten HC Odense an.[4] In fünf Erstligapartien erzielte sie 14 Treffer für Odense.[5] Ab der Saison 2013/14 lief die deutschstämmige Spielerin für den BundesligistenVfL Oldenburg auf.[6] In der Saison 2016/17 lief sie für Buxtehuder SV auf.[7] Mit dem BSV gewann sie 2017 den DHB-Pokal. Im Sommer 2017 wechselte sie zum dänischen Erstligisten København Håndbold.[8] Mit København Håndbold gewann sie 2018 die dänische Meisterschaft. Ab dem Sommer 2019 lief Meyer für Aarhus United auf.[9] In der Saison 2021/22 stand sie beim deutschen Bundesligisten Thüringer HC unter Vertrag.[10] Anschließend wechselte sie zum Ligakonkurrenten SG BBM Bietigheim.[11] Mit Bietigheim gewann sie 2023 sowohl die deutsche Meisterschaft als auch den DHB-Pokal. Im Sommer 2023 wechselte sie zum dänischen Verein Horsens HK.[12]
Meyer bestritt 33 Länderspiele für die dänische Jugend-Nationalmannschaft sowie 37 Länderspiele Juniorinnen-Nationalmannschaft. Im Sommer 2012 gewann sie mit der dänischen Auswahl die U18-Weltmeisterschaft.[3] Bei der U19-Europameisterschaft 2013 errang sie den dritten Platz. Darüber hinaus wurde sie zur besten Abwehrspielerin des Turniers gewählt.[13] Ein Jahr später belegte sie bei der U18-Weltmeisterschaft wiederum den dritten Platz.[14]
