Feszty wurde 1846 als eines von sieben Kindern des Szilveszter Rehrenbeck geboren; zu seinen Brüdern gehörte der Maler Árpád Feszty (1856–1914). Seine Familie magyarisierte ihren Namen 1868 von Rehrenbeck zu Feszty. König Franz Joseph I. adelte sie 1887 mit dem Namenszusatz von Martos.[1]
Nach Besuch der Schulen in Komárom und Pozsony studierte Feszty Naturwissenschaften in Wien und kam dort mit den Werken des Architekten Gottfried Semper in Berührung. Anschließend schrieb er sich für ein Architekturstudium am Züricher Polytechnikum ein, wo Semper lehrte. Nach Beendigung der Studien eröffnete Feszty 1871 ein Architekturbüro in Budapest. Die Aufstrebende Großstadt entwickelte sich damals zu einer Weltstadt, wofür viele repräsentative Gebäude und Prachtstraßen errichtet wurden. Feszty gestaltete in der Folgezeit zahlreiche Palais, die meisten davon auf der Andrássy út. Von 1887 bis 1892 war er als Mitglied der Liberalen Partei Reichstagsabgeordneter für den Wahlkreis Tata. 1890 zog er sich aufgrund einer Herzkrankheit von der Arbeit zurück und starb 53-jährig in Budapest. Er wurde auf dem Új köztemető beerdigt.[2]