Panserformlen

Panserformlen er en matematisk formel der bruges når man skal finde en fuldstændig løsning ud fra en lineær differentialligning af første orden.

Formlen giver løsningen til differentialligningen

${\displaystyle y'+h(x)y=g(x)}$

for to kontinuerte funktioner, ${\displaystyle h}$ og ${\displaystyle g}$, under betingelsen ${\displaystyle y(x_{0})=k}$. Formlen er givet ved:

${\displaystyle y(x)=e^{-H(x)}\left(\displaystyle \int e^{H(x)}g(x)\,dx+c\right)}$,

hvor ${\displaystyle H(x)=\int h(x)dx}$ er en stamfunktion til ${\displaystyle h(x)}$.^[1]

Panserformlen kan bevises ved at antage, at en stamfunktion ${\displaystyle H(x)}$ til ${\displaystyle h(x)}$ eksisterer. På begge sider af differentialligningen multiplicerer man først med ${\displaystyle e}$ opløftet i ${\displaystyle H(x)}$ sådan:

${\displaystyle e^{H(x)}y'+e^{H(x)}h(x)y=e^{H(x)}g(x)}$

${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Da der gælder at:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{H(x)}\right)=e^{H(x)}{\frac {d}{dx}}\left(H(x)\right)=e^{H(x)}h(x)}$

kan man skrive differentialligningen sådan:

${\displaystyle e^{H(x)}y'+{\frac {d}{dx}}\left(e^{H(x)}\right)y=e^{H(x)}g(x)}$

${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Vha. produktreglen for differentiation kan man føje de to led med ${\displaystyle y}$ sammen sådan:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{H(x)}y\right)=e^{H(x)}g(x)}$

${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Man integrerer mht. ${\displaystyle x}$ på begge sider, hvilket ophæver differentiationen på venstresiden:

${\displaystyle e^{H(x)}y-c=\int e^{H(x)}g(x)dx}$

hvor ${\displaystyle c}$ er en integrationskonstant, som tilhører de reelle tal.^[2]

${\displaystyle \Leftrightarrow }$ Konstanten flytter man over på højresiden, og man dividerer med ${\displaystyle e^{H(x)}}$ sådan:

${\displaystyle y=e^{-H(x)}\left(\int e^{H(x)}g(x)dx+c\right)}$

Så har man isoleret ${\displaystyle y}$.^[1] Den endelige integrationskonstant kan man nu bestemme, hvis ${\displaystyle y}$ er kendt til et bestemt punkt ${\displaystyle x_{0}}$, således at ${\displaystyle y(x_{0})=k}$.

Panserformlen er hermed bevist.

Q.E.D.

Der findes et alternativt bevis for panserformlens korrekthed.^[3]

• Nålestiksmetoden

Spire Denne artikel om matematik er en spire som bør udbygges. Du er velkommen til at hjælpe Wikipedia ved at udvide den.