På klubplan spillede Bozsik hele sin karriere, fra 1943 til 1962, for Budapest-klubben Kispest Honvéd. Med Honvéd vandt han fem nationale mesterskaber.[2]
Landshold
Bozsik debuterede på det ungarske landshold i 1947,[3] og derpå var han en fast del af holdet op gennem 1950'erne, i Ungarns storhedstid.[2]
Han var blandt andet med til OL 1952 i Helsinki, hvor han spillede alle holdets fem kampe, der alle blev vundet; i semifinalen vandt holdet således 6-0 over Sverige og i finalen blev det 2-0 over Jugoslavien. Ungarn vandt dermed guld. Bozsik scorede et enkelt mål i turneringen.[3] Indsatsen ved OL var med til at grundlægge de Magiske Magyarers gode rygte; det blev bare endnu større, da holdet året efter besejrede England med 6-3 på Wembley[4] (også her scorede Bozsik et mål),[3] men skønt holdet var favoritter ved VM 1954, tabte ungarerne overraskende finalen til Tyskland (som de havde besejret klart i indledende runde) med 2-3, et resultat, der i Tyskland senere er blevet kendt som "miraklet i Bern".[4][3]
Bozsik var også med på holdet ved VM 1958, hvor holdet ikke kom videre fra indledende runde.[2] I sine 101 kampe scorede han i alt 11 mål.[3]
Videre karriere
Efter sit aktive karrierestop var Bozsik en overgang 1966-1967 sin gamle klubs træner, ligesom han i 1974-1975 stod i spidsen for det ungarske landshold, som han dog måtte opgive af helbredsmæssige årsager.[2][3] Han var også i en periode bestyrelsesmedlem i Honvéd.[2]
Privatliv
Józsefs bror, István, var også fodboldspiller (målmand), og de to brødre spillede en overgang sammen på klubholdet.[2]
Bozsik døde i 1978 af en hjertefejl, i en alder af kun 52 år. I 1986 blev han æret, da Honvéds stadion efter en renovering blev døbt Bozsik Station.[2]
