Základní věta algebry

Základní věta algebry (též označovaná jako Fundamentální věta algebry^[1]) je důležité matematické tvrzení, které má fundamentální význam v algebře, ale podstatnou roli hraje i v dalších odvětvích matematiky. Říká, že každý nekonstantní polynom s komplexními koeficienty má alespoň jeden komplexní kořen. Nejstarší publikovaný důkaz pochází od Jeana-Roberta Arganda z roku 1806.

Přesné znění

Nechť ${\displaystyle P(x)=a_{n}\cdot x^{n}+\ldots +a_{0}}$ je polynom s koeficienty ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {C} ,\;a_{n}\neq 0}$ stupně ${\displaystyle \,n\geq 1}$. Pak existuje číslo ${\displaystyle \,c\in \mathbb {C} }$, že ${\displaystyle \,P(c)=0}$.

Animace ilustrující důkaz základní věty algebry na polynomu ${\displaystyle x^{5}-x-1}$

Důkazy

Ač název věty odkazuje na algebru, jedná se o historický název, kdy se pod algebrou rozumělo především řešení algebraických rovnic. I vzhledem k tomu, že obsahem tvrzení jsou komplexní čísla, která jsou spíše analytickým objektem, všechny důkazy v menší či větší míře využívají metody analytické matematiky.

Komplexně analytický důkaz

Základní věta algebry je snadným důsledkem Liouvillovy věty z komplexní analýzy:

Je-li f holomorfní omezená funkce na ${\displaystyle \mathbb {C} }$, pak f je konstantní.

Dále se dokazuje sporem. Nechť nějaký polynom P(x) s komplexními koeficienty aspoň prvního stupně nemá komplexní kořen. Pak funkce g(x) daná předpisem ${\displaystyle g(x)={\frac {1}{P(x)}}}$ je definována na celém ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Dále jistě v komplexní rovině existuje kruh K se středem v nule takový, že ${\displaystyle |P(x)|\geq 1}$ pro x ležící mimo K. Protože |P(x)| je spojitá funkce nenulová na K a K je kompaktní, existuje ${\displaystyle \,\varepsilon >0}$, že ${\displaystyle \,|P(x)|>\varepsilon }$ pro x z K. Potom ${\displaystyle |g(x)|<\max(1,{\frac {1}{\varepsilon }})}$ pro každé ${\displaystyle x\in \mathbb {C} }$. Tedy g(x) je omezená na ${\displaystyle \mathbb {C} }$ a holomorfní je zřejmě. Podle Liouvillovy věty tedy je g(x) konstantní a tedy i P(x) je konstantní, což je spor.

Důsledky

• Těleso komplexních čísel je algebraicky uzavřené.
• Polynom s komplexními koeficienty stupně ${\displaystyle n\geq 1}$ má v komplexní rovině právě n kořenů (počítá-li se každý kořen tolikrát, kolik je jeho násobnost).
• Každý polynom s reálnými koeficienty lze zapsat jako součin konstanty a monických ireducibilních polynomů (v ${\displaystyle \mathbb {R} }$) stupňů jedna a dva.
• Každou racionální funkci lze rozložit na součet parciálních zlomků.

Související články

• Algebra
• Polynom
• Rovnice
• Základní věta integrálního počtu

Reference

1. P. Olšák, Úvod do algebry, zejména lineární, 2007, FEL ČVUT Praha, ISBN 978-80-01-03775-1

• A.-L. Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1^ère partie: Analyse Algébrique, 1992, Éditions Jacques Gabay, ISBN 2-87647-053-5

• B. Fine and G. Rosenberger, The Fundamental Theorem of Algebra, 1997, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94657-8

• C. F. Gauss, “New Proof of the Theorem That Every Algebraic Rational Integral Function In One Variable can be Resolved into Real Factors of the First or the Second Degree”, 1799

• C. Gilain, “Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral”, Archive for History of Exact Sciences, 42 (1991), 91–13

• H. Kneser, “Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus”, Mathematische Zeitschrift, 46 (1940), 287–302, podívejte se také na: M. Kneser: “Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra”, Mathematische Zeitschrift, 177 (1981) 285–287

• E. Netto and R. Le Vavasseur, “Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental”, in Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome I, vol. 2, 1992, Éditions Jacques Gabay, ISBN 2-87647-101-9

• R. Remmert, “The Fundamental Theorem of Algebra”, v Numbers, 1991, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97497-0

• D. E. Smith, “A Source Book in Mathematics”, 1959, Dover Publications, ISBN 0-486-64690-4

• M. Spivak, Calculus, 1994, Publish or Perish, ISBN 0-914098-89-6

• B. L. van der Waerden, Algebra I, 1991, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97424-5

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Základní věta algebry na Wikimedia Commons
• (anglicky) Soubor důkazů základní věty algebry
• Základní věta algebry v encyklopedii MathWorld (anglicky)