Steinerův systém

Steinerův systém ${\displaystyle S(t,k,v)}$, ${\displaystyle 2\leq t<k<v}$, podle matematika Jakoba Steinera, je konečná kombinatorická struktura - systém ${\displaystyle k-}$prvkových podmnožin základní ${\displaystyle v-}$prvkové množiny (tzv. bloků) s vlastností, že každých ${\displaystyle t}$ bodů leží společně v právě jednom bloku. Steinerovy systémy zobecňují konečné geometrie, které odpovídají ${\displaystyle S(2,k,v)}$: v geometrii každé dva body určují právě jednu přímku.

Existence Steinerových systémů

Základním matematickým problémem Steinerových systémů je, zda pro daná ${\displaystyle t,k,v}$ vůbec ${\displaystyle S(t,k,v)}$ existuje. Tento problém je až na výjimky otevřený; výjimky určuje několik známých konstrukcí ${\displaystyle S(t,k,v)}$ a naopak několik podmínek, které pro jiná ${\displaystyle t,k,v}$ existenci vylučují.

Pro ${\displaystyle t>3}$ známe (nebo dovedeme prokázat existenci) jen konečně mnoho Steinerových systémů; pro ${\displaystyle t>5}$ žádný.

Nutná podmínka dělitelnosti

Utržením jednoho bodu ze Steinerova systému ${\displaystyle S(t,k,v)}$ získáme po odstranění bloků, v nichž tento bod neležel, tzv. derivovaný systém ${\displaystyle S(t,k,v)}$ Derivovaný systém také musí splňovat axiomy Steinerova systému, jeho derivovaný systém také atd. Z toho plyne soustava nutných podmínek pro existenci ${\displaystyle S(t,k,v)}$:

${\displaystyle {\frac {\left({\begin{array}{c}v-i\\t-i\\\end{array}}\right)}{\left({\begin{array}{c}k-i\\t-i\\\end{array}}\right)}}}$ musí být celočíselné pro každé ${\displaystyle 0<i<t}$^[1]

Zlomek vyjadřuje počet bloků, v nichž leží každá ${\displaystyle i-}$tice bodů.

Splnění této sady podmínek však stále není postačující pro existenci ${\displaystyle S(t,k,v)}$; již vyvráceny byly například existence ${\displaystyle S(4,5,15)}$, ${\displaystyle S(4,10,66)}$ či ${\displaystyle S(3,13,145)}$

Dosud známé nekonečné třídy Steinerových systémů^[2]

• ${\displaystyle S(2,q,q^{n})}$ pro ${\displaystyle q=}$ mocnina prvočísla a ${\displaystyle n>1}$ (afinní geometrie)
• ${\displaystyle S(3,q+1,q^{n}+1)}$ pro ${\displaystyle q=}$ mocnina prvočísla a ${\displaystyle n>1}$ (sférické geometrie)
• ${\displaystyle S(2,q+1,(q^{n+1}-1)/(q-1))}$ pro ${\displaystyle q=}$ mocnina prvočísla a ${\displaystyle n>1}$ (projektivní geometrie)
• ${\displaystyle S(2,q+1,q^{3}+1)}$ pro ${\displaystyle q=}$ mocnina prvočísla
• ${\displaystyle S(2,2^{r},2^{r+s}+2^{r}-2^{s})}$ pro ${\displaystyle 1<r<s}$ (Dennistonův design)

Steinerovy systémy v teorii grup

Speciální Steinerovy systémy jsou jednou z ekvivalentních možností jak definovat vysoce tranzitivní Mathieu grupy:

• ${\displaystyle 5-}$transitivní Mathieu grupa ${\displaystyle M_{24}}$ je grupou automorfismů Steinerova systému ${\displaystyle S(5,8,24)}$
• ${\displaystyle 5-}$transitivní Mathieu grupa ${\displaystyle M_{12}}$ je grupou automorfismů Steinerova systému ${\displaystyle S(5,6,12)}$
• ${\displaystyle 4-}$transitivní Mathieu grupa ${\displaystyle M_{23}}$ je grupou automorfismů Steinerova systému ${\displaystyle S(4,7,23)}$
• ${\displaystyle 4-}$transitivní Mathieu grupa ${\displaystyle M_{11}}$ je grupou automorfismů Steinerova systému ${\displaystyle S(4,5,11)}$
• ${\displaystyle 3-}$transitivní Mathieu grupa ${\displaystyle M_{22}}$ je grupou automorfismů Steinerova systému ${\displaystyle S(3,6,22)}$

Reference

1. BIGGS, Norman L.; WHITE, Arthur T. Permutation groups and combinatorial structures. [s.l.]: Cambridge University Press, 1979. 140 s. ISBN 978-0521222877. 
2. COLBOURN, Charles J.; DINITZ, Jeffrey H. Handbook of combinatorial designs. II.. vyd. [s.l.]: CRC Press, 2006. 1016 s. ISBN 9780429138485. S. 102–110. 

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Steinerův systém na Wikimedia Commons