Součinitel ztráty třením

Součinitel ztráty třením ${\displaystyle \lambda }$ [-] je jedním ze základních členů Darcy-Weisbachovy rovnice. Standardně se používá v rámci výpočtů tlakových potrubí, v případě otevřených koryt slouží hlavně k teoretickým úvahám. Pro jeho určení existuje několik vzorců různých autorů, v praxi se též často používá speciální nomogram (Moodyho graf).

Určení součinitele ztráty třením

Součinitel ztráty třením vychází z pokusů Nikuradseho, který pracoval s potrubím uvnitř pokrytým homogenní pískovou drsností (podrobněji viz např.^[1][2]). Jeho původní graf již v podstatě měl strukturu současně používaného Moodyho grafu. Během doby se však prokázalo, že pro technické potrubí s drsností nehomogenní závislost odvozená Nikuradsem neplatí. Časem vzniklo zpracováním řady měření na potrubích z různých materiálů (a tedy i o různé absolutní drsnosti) o různých průměrech několik vzorců pro různé oblasti hydraulických odporů. Celkové výsledky jsou shrnuty v Moodyho grafu. Dílčí výsledky zpracovali různí výzkumníci do vzorců pro jednotlivé oblasti odporů.

Moodyho graf

Moodyho graf (Moodyho diagram, byl pojmenován po svém autorovi Lewisi Ferrym Moodymu) graficky zobrazuje obecně přijímanou závislost součinitele ztráty třením na Reynoldsově čísle a relativní drsnosti potrubí.

V grafu Friction Factor znamená součinitel ztráty třením ${\displaystyle \lambda }$, Reynolds Number je Reynoldsovo číslo (zde v poněkud nezvyklé formě s použitím dynamické viskozity ${\displaystyle \mu }$ [Pa.s] místo viskozity kinematické ${\displaystyle \nu =\mu /\rho }$ [m²s⁻¹]), Relative Pipe Roughness je relativní drsnost ${\displaystyle \epsilon /d}$ [-] kde ${\displaystyle \epsilon }$ [m] je absolutní drsnost potrubí (viz tabulka orientačních hodnot uvnitř grafu) a ${\displaystyle d}$ [m] vnitřní průměr potrubí.

V levé části nomogramu je uvedena závislost součinitele ztráty třením pro laminární proudění (${\displaystyle Re<2320}$), kde platí nepřímá úměra ${\displaystyle \lambda =f(Re)}$.

Dále navazuje kritická oblast přechodu mezi laminárním a turbulentním prouděním (${\displaystyle 2320<Re<(4000-5000)}$ - Transition Region - v grafu je označena užší než se běžně udává) kde sice ${\displaystyle \lambda }$ závisí také jen na Re, ale závislost se nedá popsat rovnicí, protože přechod mezi laminárním a turbulentním prouděním zpravidla probíhá skokem.

Dolní obálka svazku křivek (označená Smooth Pipe) platí pro hydraulicky hladké potrubí; zde je relativní drsnost natolik malá, že součinitel ztráty třením ${\displaystyle \lambda }$ na ní nezávisí a je funkcí pouze Reynoldsova čísla, ${\displaystyle \lambda =f(Re)}$.

Na svazku křivek vyjadřujícím závislost ${\displaystyle \lambda =f(Re;\epsilon /d)}$ jsou patrné dvě oblasti, jejichž hranice je vyznačena čárkovanou čarou s popisem Complete turbulence. Tato hranice je podle Colebrooka popsána rovnicí

${\displaystyle Re={200 \over {\sqrt {\lambda }}}{d \over \epsilon }}$ .

Vlevo od této hranice je tzv. přechodná oblast odporů, kde beze zbytku platí rovnice ${\displaystyle \lambda =f(Re;\epsilon /d)}$. Vpravo od této hranice je tzv. kvadratická oblast odporů, kde již součinitel ztráty třením nezávisí na ${\displaystyle Re}$ a je pouze funkcí relativní drsnosti,${\displaystyle \lambda =f(\epsilon /d)}$, a v této části jsou tedy křivky rovnoběžné s osou x.

Vybrané vzorce

Laminární proudění

Pro oblast laminárního proudění se standardně uvádí Poiseuilleův vztah

${\displaystyle \lambda ={64 \over Re}}$,

který může zasahovat i do přechodné oblasti mezi laminárním a turbulentním prouděním (viz výše).

Hydraulicky hladké potrubí

Pro hydraulicky hladké potrubí platí níže uvedené vzorce pro technická potrubí i pro potrubí s homogenní drsností, protože součinitel ztráty třením na drsnosti nezávisí a je funkcí pouze ${\displaystyle Re}$. V rozmezí ${\displaystyle 4.10^{3}<Re<10^{5}}$ lze použít jednoduchý, v praxi dosti oblíbený Blasiův vztah,

${\displaystyle \lambda ={0,3164 \over Re^{0,25}}}$

Teoreticky správnější a údajně přesnější je Prandtlův vzorec

${\displaystyle {1 \over {\sqrt {\lambda }}}=2\log(Re{\sqrt {\lambda }})-0,8}$,

podle Nikuradseho experimentů přesný do ${\displaystyle Re=3.10^{6}}$, údajně extrapolovatelný i pro vyšší hodnoty ${\displaystyle Re}$ (až do 10⁸). Jeho nevýhodou je nutnost výpočtu ${\displaystyle \lambda }$ postupným přibližováním. Tuto nevýhodu nemají další vzorce, např. Colebrookovo zjednodušení Nikuradseho vzorce (nezávisle odvozené také Konakovem)

${\displaystyle \lambda ={1 \over {(1,8\log Re-1,52)^{2}}}}$,

platný pro ${\displaystyle 4.10^{3}<Re<10^{5}}$, nebo vzorec Altšulův

${\displaystyle {1 \over {\sqrt {\lambda }}}=1,82\log {Re \over 100}+2}$

platný v rozsahu ${\displaystyle 2,5.10^{3}<Re<10^{12}}$

Přechodná oblast odporů

V přechodné oblasti odporů je nejznámější vzorec Colebrooka a Whitea

${\displaystyle {1 \over {\sqrt {\lambda }}}=-2\log {\biggl (}{2,51 \over {Re{\sqrt {\lambda }}}}+{\epsilon \over {3,71d}}{\biggr )}}$

který platí pro ${\displaystyle Re>4.10^{3}}$ a je uznáván jako nejpřesnější a s nejširší platností. Pokud je druhý člen v závorce dostatečně malý (je malá relativní drsnost), lze jej vůči prvnímu členu zanedbat a vztah vlastně přecházi do vzorce pro hydraulicky hladké potrubí. Pokud naopak je při velkém ${\displaystyle Re}$ a ${\displaystyle \lambda }$ malý první člen, přechází vztah do vzorce pro kvadratickou oblast. Pokud mají oba členy zhruba stejnou váhu, platí výsledek v přechodné oblasti odporů. Poněkud nepříjemné je, že vzorec je implicitní a tudíž je nutné výpočet provést nejjednodušeji postupným přibližováním.

Nevýhodu implicitnosti nemá vzorec Altšula o stejné oblasti platnosti

${\displaystyle \lambda =0,11{\biggl (}{68 \over Re}+{\epsilon \over d}{\biggr )}^{0,25}}$ .

Dosti používaný je i Moodyho vztah

${\displaystyle \lambda =0,0053\left[1+{\biggl (}2000{\epsilon \over d}+{10^{6} \over Re}{\biggr )}^{1/3}\right]}$

platící pro ${\displaystyle 4.10^{3}<Re<10^{7}}$ a současně ${\displaystyle \epsilon /d<10^{-1}}$.

Kvadratická oblast

V kvadratické oblasti je použitelný vzorec Nikuradseho

${\displaystyle \lambda ={0,25 \over {\bigl (}\log {3,71d \over \epsilon }{\bigr )}^{2}}}$

či jednoduchý vztah Šifrinsona

${\displaystyle \lambda =0,11{\biggl (}{\epsilon \over d}{\biggr )}^{0,25}}$

platný pro ${\displaystyle 10^{4}<Re<10^{8}}$ a současně ${\displaystyle 10^{-5}<\epsilon /d<10^{-1}}$.

Určení součinitele ztráty třením z Chézyho rovnice

Porovnáním vyjádření ztrát, resp. sklonu čáry energie, z Darcy-Weisbachovy rovnice a rovnice Chézyho lze snadno odvodit vztah

${\displaystyle C={\sqrt {8g \over \lambda }}}$ čili ${\displaystyle \lambda ={8g \over C^{2}}}$.

kde ${\displaystyle C}$ je Chézyho rychlostní součinitel. Tyto vztahy můžeme použít pro vzájemný přepočet, avšak musíme vést v patrnosti, že Chézyho rovnice byla odvozena a platí pouze pro kvadratickou oblast odporů.

Reference

1. Boor, B., Kunštátský, J. a Patočka, C. (1968): Hydraulika pro vodohospodářské stavby. SNTL/ALFA Praha/Bratislava
2. Kolář, V., Patočka, C. a Bém, J. (1983): Hydraulika. SNTL/Alfa Praha/Bratislava

Portály: Fyzika