Prostorový úhel

Vymezení prostorového úhlu na kulové ploše rotační kuželovou plochou

Prostorový úhel je část prostoru vymezená rotační kuželovou plochou. Každá taková plocha dělí prostor na právě dvě části – prostorové úhly. Prostorový úhel se určuje tak, že se uvažuje kulová plocha o středu ve vrcholu V a o libovolném poloměru r, jejíž průnik s prostorovým úhlem je vrchlík na kulové ploše o obsahu A. Velikost prostorového úhlu pak určuje poměr mezi A a r², přičemž nezávisí na uvažované kulové ploše.^[1][2][3] Alternativní definicí prostorového úhlu je sjednocení všech polopřímek ${\displaystyle {\overrightarrow {VX}}}$ se společným počátkem V, kde bod X leží na kulovém vrchlíku se středem v bodě V.^[4][5][6]

Specifickým případem prostorového úhlu je poloprostor, tj. část prostoru rozděleného rovinou.

Prostorový úhel jako fyzikální veličina

Prostorový úhel jako veličina se používá k vymezení určité části možných směrů z daného prostorového bodu, a to zejména ve veličinách charakterizující šíření elektromagnetického vlnění (včetně světla) či korpuskulárního záření (toky a proudy částic).

Definice

Prostorový úhel jako veličina charakterizuje velikost části prostoru vyťaté obecnou kuželovou plochou (bez ohledu na její konkrétní tvar či směřování) pomocí obsahu ${\displaystyle A}$ plochy jí vymezené na kulové ploše (sféře) se středem ve vrcholu kuželové plochy^{[pozn. 1]} a s poloměrem ${\displaystyle r}$, a to nezávisle na velikosti (poloměru) sféry.

Definiční vztah:^[7]

${\displaystyle {\mathit {\Omega }}={\frac {A}{r^{2}}}}$

Prostorový úhel je veličinou skalární.

Značení a jednotky

• Symbol veličiny: ${\displaystyle {\mathit {\Omega }}}$
• Jednotka SI: steradián, značka jednotky: sr

Steradián je koherentní fyzikální jednotka prostorového úhlu. Jeden steradián je prostorový úhel, který vymezuje ze středu kulové plochy na jejím povrchu plochu o obsahu rovném kvadrátu jejího poloměru.^[8] (Definice je obecná, aniž by specifikovala tvar vymezené plochy.) Podobně jako radián, je steradián v současné podobě SI považován za odvozenou bezrozměrnou jednotku, přičemž dříve (do r. 1995) byl řazen do tzv. doplňkových jednotek s vlastním rozměrem.

• V astronomii se kromě steradiánu používá také starší jednotka čtverečný stupeň.

Výpočet

Prostorový úhel objektu pozorovaného z určitého bodu je číselně roven ploše, kterou zabírá obraz tohoto objektu v bodové projekci (se středem v daném bodě) na jednotkovou sféru, která má střed v daném bodě.

Plný prostorový úhel má hodnotu ${\displaystyle 4\pi }$, přímý prostorový úhel (poloprostor) pak poloviční, tedy ${\displaystyle 2\pi }$.

Element prostorového úhlu

Pozorujeme-li z určitého bodu o polohovém vektoru ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ element plochy ${\displaystyle \mathrm {d} S}$, jehož polohový vektor je ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}^{\prime }}$, pak pro element prostorového úhlu platí

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathit {\Omega }}={\frac {{\boldsymbol {R}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}}{R^{3}}}}$,

kde ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }}$, ${\displaystyle R}$ je velikost tohoto vektoru a ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {n}}\mathrm {d} S}$, přičemž ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$ je normála plochy v bodě ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}^{\prime }}$.

Poznámky

1. Takto vymezená plocha je tedy ohraničena obecnou uzavřenou sférickou křivkou, přičemž může jít i o sférický mnohoúhelník, jako u definice čtverečného stupně.

Reference

1. ROSSIOVÁ DELL'ACQUA, Alba. Encyklopedie matematiky. 1. vyd. Praha: Mladá fronta, 1988. S. 260. 
2. Encyklopedický institut ČSAV. Malá československá encyklopedie. 1. vyd. Svazek V. Pom–S. Praha: Academia, 1987. S. 123. 
3. KLEZCEK, Josip. Velká encyklopedie vesmíru. 1. vyd. Praha: Academia, 2002. ISBN 80-200-0906-X. S. 388. 
4. LOŠŤÁK, Jiří. Matematika do kapsy. 2. vyd. Olomouc: FIN, 1993. ISBN 80-85572-47-8. S. 123–124. 
5. Encyklopedický dům. Encyklopedický slovník. 1. vyd. Praha: Odeon & Encyklopedický dům, 1993. ISBN 80-207-0438-8. S. 1143. 
6. Diderot. Všeobecná encyklopedie Diderot v osmi svazcích. 2. nezměněné. vyd. Svazek 8. T–Ž. Praha: DIDEROT, 2002. ISBN 80-86613-08-9. S. 177. 
7. ČSN ISO/IEC 80000-3 (2007) Veličiny a jednotky, část 3: Prostor a čas. (http://csnonlinefirmy.unmz.cz/html_nahledy/01/78120/78120_nahled.htm Archivováno 13. 12. 2017 na Wayback Machine. Náhled online.) Český normalizační institut, duben 2007
8. Příručka SI. Draft revize 9, odsouhlasený Rozhodnutím CIPM/106-13. Tabulka 4, odst. c), str. 12. Mezinárodní úřad pro míry a váhy, 10. listopad 2016. Dostupné online Archivováno 13. 1. 2017 na Wayback Machine. (anglicky)

Související články

• Úhel
• Steradián

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu prostorový úhel na Wikimedia Commons