Pevný bod

Jako pevný bod (také samodružný bod) označujeme prvek, který se v daném zobrazení zobrazí sám na sebe.

Například pevnými body funkce ${\displaystyle f(x)=x^{2}-4x+6}$ jsou čísla 2 a 3 (platí totiž, že ${\displaystyle 2=2^{2}-4\cdot 2+6}$ a ${\displaystyle 3=3^{2}-4\cdot 3+6}$).

Definice

Nechť ${\displaystyle f:M\to M}$ je zobrazení. Prvek ${\displaystyle x\in M}$ nazveme pevným bodem zobrazení ${\displaystyle f}$, pokud ${\displaystyle f(x)=x}$.

Geometrická interpretace

Graf funkce se třemi pevnými body

Pro funkci ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ je pevný bod průnikem grafu této funkce s grafem funkce ${\displaystyle y=x}$, tzn. osou symetrie (diagonálou) prvního resp. třetího kvadrantu.

Teorie kategorií

V teorii kategorií je pevným bodem endofunktoru ${\displaystyle F}$ nad ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ objekt ${\displaystyle A}$ takový, že platí ${\displaystyle A\cong FA}$. Podle Lambekovy věty je počáteční objekt v kategorii ${\displaystyle F}$-algeber pevným bodem, platí tedy ${\displaystyle \mu F\cong F\mu F}$. Tohoto faktu se využívá ve funkcionálním programování k definici rekurzivních datových struktur bez syntaktické podpory.

Související články

• Věta o pevném bodě
• Banachova věta o pevném bodě
• Brouwerova věta o pevném bodu

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu pevný bod na Wikimedia Commons

Portály: Matematika