Logistická funkce

Sigmoida

Logistická funkce nebo též logistická křivka je reálná funkce definovaná jako

${\displaystyle f(t;a,m,n,\tau )=a{\frac {1+me^{-t/\tau }}{1+ne^{-t/\tau }}}\!}$

kde f je funkční hodnota, a, m, n, a τ reálné parametry. Nezávisle proměnná se označuje t, protože logistická funkce se často používá pro modelování vývoje v čase. V počáteční fázi je růst přibližně exponenciální, později s rostoucím nasycením se zpomaluje, a nakonec se asymptoticky zastaví. Logistická funkce se často používá v empirických vědách například pro modelování růstu populací a koncentrací.

Sigmoida

Významným příkladem logistické funkce je speciální případ s parametry a = 1, m = 0, n = 1, τ = 1, tedy

${\displaystyle P(t)={\frac {1}{1+e^{-t}}}\!}$

Tato logistická funkce se pro svůj tvar někdy označuje též jako sigmoida. Je řešením nelineární diferenciální rovnice prvního řádu

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=P(1-P),\quad {\mbox{(2)}}\!}$

s okrajovou podmínkou P(0) = 1/2. Používá se často jako sponová funkce (link function) ve statistických modelech (logistická regrese) pro transformaci vstupních hodnost do intervalu ${\displaystyle (0,1)}$, což umožňuje přímý převod na procenta (např. úspěšnost nalezené shody při analýze obrazu, zvuku, textu atp.).

Význam

Logistické křivky se objevují jako řešení různých modelů například v demografii, biologii a ekonomii.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Logistic function na anglické Wikipedii.

Související články

• Gaussova křivka (funkce hustoty normálního rozdělení)
• Hyperbolický tangens
• Chybová funkce
• Logistická regrese
• Přechodový jev
• Exponenciální funkce
• Logaritmická funkce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu logistická funkce na Wikimedia Commons

Portály: Matematika