Jordanova normální forma

Jordanova normální forma (často též Jordanův kanonický tvar) je v lineární algebře zvláštní tvar čtvercové matice užitečný mimo jiné při výpočtu maticových funkcí defektních matic. Matice v Jordanově tvaru je blokově diagonální a na diagonále má tzv. Jordanovy bloky (nazývané též Jordanovy buňky^[1]), což je speciální typ horní trojúhelníkové matice.

Důležitou vlastností Jordanova tvaru je, že pro každou matici ${\displaystyle A}$ existuje Jordanův tvar ${\displaystyle J}$, který jí je podobný, tedy existuje taková regulární matice ${\displaystyle R}$, že ${\displaystyle A=R^{-1}J\,R}$. Takový přepis se nazývá Jordanův rozklad matice ${\displaystyle A}$. Objevil ho Camille Jordan roku 1870, a po něm se proto Jordanova normální forma jmenuje.

Podoba Jordanova tvaru

Matice ${\displaystyle J\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$v Jordanově tvaru je blokově diagonální taková, že:

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}J_{k_{1}}(\lambda _{1})\ &\;&\;\\\;&\ddots &\;\\\;&\;&J_{k_{n}}(\lambda _{n})\end{pmatrix}},}$

kde ${\displaystyle J_{k}(\lambda )\in \mathbb {C} ^{k\times k}}$, tzv. Jordanův blok vlastního čísla ${\displaystyle \lambda }$ dimenze ${\displaystyle k}$, je horní trojúhelníková matice ve tvaru:

${\displaystyle J_{k}(\lambda )={\begin{pmatrix}\lambda &1&\;&\;\\\;&\lambda &\ddots &\;\\\;&\;&\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda \end{pmatrix}}.}$

Matice v Jordanově tvaru má tedy na diagonále obecná komplexní čísla, těsně nad diagonálou 1 nebo 0 a všude jinde nuly.

Pozn.: Nuly v maticovém zápisu Jordanova tvaru zpravidla vynecháváme, jinak by se zápis stal nepřehledným. Automaticky můžete předpokládat, že všechna prázdná místa v maticích budou vyplněna nulami.

Příklad 1

Následující matice je v Jordanově tvaru:

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}5&1&&&&\\&5&&&&\\&&8&&&\\&&&8&1&\\&&&&8&1\\&&&&&8\end{pmatrix}}.}$

Skládá ze tří Jordanových bloků ${\displaystyle J_{2}(5),\,J_{1}(8),\,J_{3}(8)}$ velikosti 2×2, 1×1 a 3×3 odpovídajících (ne nutně různým) vlastním číslům 5, 8 a 8.

Příklad 2

Jakákoliv n×n diagonální matice ${\displaystyle D=\mathrm {diag} (\lambda _{1},\,...,\,\lambda _{n})}$ je v Jordanově tvaru: má n bloků ${\displaystyle J_{1}(\lambda _{i})}$ o rozměru 1×1.

Souvislost s vlastními čísly

Jordanova forma má úzký vztah k algebraické a geometrické násobnosti vlastních čísel. Připomeňme si stručně tyto pojmy:

• Vlastní číslo matice je takové ${\displaystyle \lambda }$, které pro nějaký nenulový vektor ${\displaystyle v}$ splňuje ${\displaystyle Av=\lambda v}$. Tato podmínka se dá snadno přepsat jako ${\displaystyle (A-\lambda I)\,v=0}$.
• Máme-li matici ${\displaystyle A}$ a její vlastní číslo ${\displaystyle \lambda }$, hodnota ${\displaystyle \dim \mathrm {Ker} \,(A-\lambda I)}$ se nazývá geometrickou násobností vlastního čísla ${\displaystyle \lambda }$.
• Polynom ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\det(A-\lambda I)}$se nazývá charakteristický polynom matice ${\displaystyle A}$ a jeho kořeny jsou vlastními čísly ${\displaystyle A}$. Termínem algebraická násobnost se označuje násobnost ${\displaystyle \lambda }$ jako kořene tohoto polynomu.

Z těchto definic je zřejmé, že Jordanův blok ${\displaystyle J_{k}(\lambda )}$ má vlastní číslo ${\displaystyle \lambda }$ s algebraickou násobností ${\displaystyle k}$ a geometrickou násobností 1. Lze ukázat, že se násobnosti bloků v Jordanově tvaru sčítají, matice s vlastním číslem ${\displaystyle \lambda }$ s algebraickou násobností ${\displaystyle a}$ a geometrickou násobností ${\displaystyle g}$ bude tedy mít pro toto vlastní číslo ${\displaystyle g}$ Jordanových bloků, jejichž součet dimenzí bude ${\displaystyle a}$.

Vlastní číslo s algebraickou násobností 1 se nazývá jednoduché. Vlastní číslo, které není jednoduché, se nazývá násobné.

Jordanův kanonický tvar je jednoznačný, až na uspořádání jednotlivých Jordanových bloků na diagonále. Matice ${\displaystyle A}$, jejíž Jordanův kanonický tvar ${\displaystyle J}$

• obsahuje pouze Jordanovy bloky dimenze 1, se nazývá diagonalizovatelná nebo také jednoduchá (ekvivalentně, všechna vlastní čísla mají stejnou geometrickou i algebraickou násobnost).
• Matice, která není diagonalizovatelná, ze nazývá defektní (ekvivalentně, obsahuje alespoň jeden Jordanův blok dimenze větší než jedna).
• Matice, která má alespoň jedno vlastní číslo s geometrickou násobností větší než jedna, se v angličtině nazývá „derogatory“ (ekvivalentně, existují alespoň dva Jordanovy bloky odpovídající stejnému vlastnímu číslu).
• A naopak, matice se v angličtině nazývá „nonderogatory“ pokud všechna její vlastní čísla mají geometrickou násobnost rovnou jedné (ekvivalentně, v Jordanově kanonickém tvaru dvěma různým indexům ${\displaystyle r\neq q}$ odpovídají různá vlastní čísla ${\displaystyle \lambda _{r}\neq \lambda _{q}}$).

Vlastnosti

Každá matice ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ je podobná matici s Jordanovou normální formou. Tj. existuje matice přechodu mezi bázemi P tak, že PA = JP. Jelikož Jordanova matice je trojúhelníková, její vlastní čísla jsou na diagonále, a jelikož A a J jsou podobné, jejich vlastní čísla jsou stejná.

Příklad Jordanova rozkladu a funkce matice

Demonstrujme si Jordanův rozklad na jednoduchém příkladu. Máme rozložit matici

${\displaystyle \quad A={\begin{pmatrix}{\frac {\pi }{6}}+2&4\\-1&{\frac {\pi }{6}}-2\end{pmatrix}}.}$

Nejprve určíme vlastní čísla této matice, například pomocí determinantu

${\displaystyle \det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}{\frac {\pi }{6}}+2-\lambda &4\\-1&{\frac {\pi }{6}}-2-\lambda \end{vmatrix}}=0.}$

Dostáváme

${\displaystyle \det(A-\lambda I)=\lambda ^{2}-{\frac {\pi }{3}}\lambda +{\frac {\pi ^{2}}{36}}=\left(\lambda -{\frac {\pi }{6}}\right)^{2}=0.}$

Nalezli jsme tedy vlastní číslo ${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {\pi }{6}}}$ s algebraickou násobností 2.

Vlastní vektory odpovídající tomuto vlastnímu číslu jsou všechna nenulová řešení ${\displaystyle x}$ homogenní soustavy ${\displaystyle (A-\lambda _{1}I)x=0}$. Zřejmě

${\displaystyle A-\lambda _{1}I={\begin{pmatrix}2&4\\-1&-2\end{pmatrix}}}$

a jedním z hledaných řešení je například vektor ${\displaystyle x_{1}=(2,-1)^{T}}$. Všimněme si, že matice ${\displaystyle A-\lambda _{1}I}$ má hodnost jedna a dimenze jejího jádra (nulového prostoru) je také jedna. Žádný jiný lineárně nezávislý vlastní vektor matice ${\displaystyle A}$ nemá. Vlastní číslo má geometrickou násobnost jedna.

Pro výpočet Jordanova rozkladu musíme sestavit matici ${\displaystyle X}$. Jejím prvním sloupcem bude právě vlastní vektor ${\displaystyle x_{1}}$, druhým sloupcem ${\displaystyle x_{2}}$ bude tzv. zobecněný vlastní vektor, pro který v tomto případě platí

${\displaystyle Ax_{2}=x_{1}+\lambda x_{2}.}$

Snadno se přesvědčíme, že ${\displaystyle x_{2}=(1,0)^{T}}$. Zadanou matici nyní můžeme zapsat pomocí Jordanova rozkladu

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\pi }{6}}+2&4\\-1&{\frac {\pi }{6}}-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {\pi }{6}}&1\\0&{\frac {\pi }{6}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}^{-1},}$

kde prostřední matice je Jordanův kanonický tvar matice ${\displaystyle A}$. Obsahuje jediný Jordanův blok velikosti 2.

Reference

1. BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. Praha: Academia, 2000. ISBN 80-200-0843-8. S. 115-118.