Distribuce (diferenciální geometrie)

V diferenciální geometrii se zavádějí jistá zobrazení, která zobrazují z diferencovatelné variety do jejích tečných prostorů. Každému bodu variety je specifickým způsobem přiřazen vektorový prostor, který je podprostorem tečného prostoru v daném bodě variety. Takovýmto zobrazením se říká distribuce. Navzdory svému názvu nemají nic společného s distribucemi alias zobecněnými funkcemi známými z matematické analýzy.

Definice

Mějme diferencovatelnou varietu ${\displaystyle \scriptstyle M}$ a označme tečný prostor v libovolném bodě této variety ${\displaystyle \scriptstyle p\in M}$ jako ${\displaystyle \scriptstyle T_{p}M}$. Pak termínem k-rozměrná distribuce na varietě ${\displaystyle \scriptstyle M}$ rozumíme hladké přiřazení k-rozměrného podprostoru ${\displaystyle \scriptstyle T_{p}M}$ každému bodu ${\displaystyle \scriptstyle p\in M}$. Toto přiřazení značíme ${\displaystyle \scriptstyle \Delta _{k}}$. Neboli

${\displaystyle (\forall p\in M)(\exists U=U^{\circ }\subset M,p\in U)(\exists X_{1},\ldots ,X_{k}\in {\mathcal {X}}(U))(\forall q\in U)(\{X_{1}|_{q},\dots X_{k}|_{q}\}\ {\text{jsou LN a}}\ \Delta _{k}(q)={\text{span}}\{X_{1}|_{q},\ldots ,X_{k}|_{q}\})}$,

kde ${\displaystyle \scriptstyle U\subset M}$ je okolí bodu ${\displaystyle \scriptstyle p\in M}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {X}}(U)}$ je množina (hladkých) vektorových polí na okolí ${\displaystyle \scriptstyle U}$, ${\displaystyle \scriptstyle {\text{span}}}$ značí lineární obal vektorů, LN je zkratka pro "lineární nezávislost" a ${\displaystyle \scriptstyle X_{i}|_{q}}$ označuje hodnotu vektorového pole ${\displaystyle \scriptstyle X_{i}}$ v bodě ${\displaystyle \scriptstyle q\in U}$.

Občas se v definici k-rozměrné distribuce nepožaduje její hladkost. Výše uvedenou definicí se v takovém případě zavádí pojem hladké k-rozměrné distribuce.

Přidružené pojmy

Uvažujme nyní diferencovatelnou varietu ${\displaystyle \scriptstyle M}$ o dimenzi n a na ní definovanou k-rozměrnou distribuci ${\displaystyle \scriptstyle \Delta _{k}}$. O této distribuci řekneme, že je (úplně) integrabilní, právě když pro každý bod ${\displaystyle \scriptstyle p\in M}$ existuje jeho okolí ${\displaystyle \scriptstyle U=U^{\circ }\subset M}$ a na něm souřadnice ${\displaystyle \scriptstyle (x^{1},\ldots ,x^{k},y^{1},\ldots ,y^{n-k})}$ takové, že plochy určené soustavou rovnic

${\displaystyle \scriptstyle {\begin{matrix}y^{1}&=&konst.\\&\vdots &\\y^{n-k}&=&konst.\\\end{matrix}}}$

(bráno jako podmnožiny v okolí ${\displaystyle \scriptstyle U}$) jsou integrální podvariety ${\displaystyle \scriptstyle \Delta _{k}}$. Souřadnice ${\displaystyle \scriptstyle (x^{1},\ldots ,x^{k},y^{1},\ldots ,y^{n-k})}$ pak nazýváme Frobeniova mapa.

Uvažujme opět diferencovatelnou varietu ${\displaystyle \scriptstyle M}$ a na ní definovanou k-rozměrnou distribuci ${\displaystyle \scriptstyle \Delta _{k}}$. Dále nechť ${\displaystyle \scriptstyle N}$ je n-rozměrná vnořená podvarieta variety ${\displaystyle \scriptstyle M}$, tj. existuje vnoření ${\displaystyle \scriptstyle i:N\to M}$. Pokud

${\displaystyle (\forall p\in N)(i_{\ast }(T_{p}N)\subset \Delta _{k}(i(p)))}$,

kde ${\displaystyle \scriptstyle i_{\ast }}$ označuje tečné zobrazení k zobrazení ${\displaystyle \scriptstyle i}$, tak podvarietu ${\displaystyle \scriptstyle N}$ nazveme n-rozměrnou integrální podvarietou.

Frobeniova věta o integrabilitě distribucí

Buď ${\displaystyle \scriptstyle \Delta _{k}}$ k-rozměrná distribuce na diferencovatelné varietě ${\displaystyle \scriptstyle M}$. Pokud platí

${\displaystyle (\forall U=U^{\circ }\subset M)(\forall X,Y\in {\mathcal {X}}(U))(\forall p\in U)(X|_{p},Y|_{p}\in \Delta _{k}(p)\Rightarrow [X,Y]|_{p}\in \Delta _{k}(p))}$,

tak k ${\displaystyle \scriptstyle \Delta _{k}}$ existuje v okolí každého bodu integrální podvarieta.(Význam jednotlivých symbolů ve vzorci je tentýž jako ve vzorcích předchozích.)

Krátce řečeno, pokud je ${\displaystyle \scriptstyle \Delta _{k}}$ v involuci, tj. ${\displaystyle \scriptstyle [\Delta _{k},\Delta _{k}]\subset \Delta _{k}}$, tak je ${\displaystyle \scriptstyle \Delta _{k}}$ integrabilní.