Absolutní hodnota je matematický pojem, který souvisí s pojmy velikosti a vzdálenosti. Vyjadřuje vzdálenost obrazu čísla na číselné ose od nuly [ 1]
|
x
|
{\displaystyle |x|}
kladného čísla je stejné číslo (
|
x
|
=
x
{\displaystyle |x|=x}
|
3
|
=
3
{\displaystyle |3|=3}
záporného čísla je číslo opačné (
|
− − -->
x
|
=
x
{\displaystyle |-x|=x}
|
− − -->
3
|
=
3
{\displaystyle |-3|=3}
Zápis |
x
{\displaystyle x}
| s
x
{\displaystyle x}
svislicemi představil Karl Weierstrass v roce 1841.[ 2] mohutnosti .
Definice a vlastnosti
Absolutní hodnota reálného čísla
a
{\displaystyle a}
|
a
|
=
{
a
,
pokud
a
≥ ≥ -->
0
− − -->
a
,
pokud
a
<
0
{\displaystyle |a|={\begin{cases}a,&{\mbox{pokud }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{pokud }}a<0\end{cases}}}
Jak je patrné z výše uvedené definice, absolutní hodnota čísla
a
{\displaystyle a}
Pro každé reálné číslo platí:
|
a
|
=
a
2
{\displaystyle |a|={\sqrt {a^{2}}}}
|
a
|
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle |a|\geq 0}
|
a
|
=
0
⇔ ⇔ -->
a
=
0
{\displaystyle |a|=0\Leftrightarrow a=0}
|
a
b
|
=
|
a
|
.
|
b
|
{\displaystyle |ab|=|a|.|b|}
|
a
+
b
|
≤ ≤ -->
|
a
|
+
|
b
|
{\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}
trojúhelníková nerovnost )
|
(
|
a
|
)
|
=
|
a
|
{\displaystyle |(|a|)|=|a|}
|
− − -->
a
|
=
|
a
|
{\displaystyle |-a|=|a|}
|
a
− − -->
b
|
=
0
⇔ ⇔ -->
a
=
b
{\displaystyle |a-b|=0\Leftrightarrow a=b}
|
a
− − -->
b
|
≤ ≤ -->
|
a
− − -->
c
|
+
|
c
− − -->
b
|
{\displaystyle |a-b|\leq |a-c|+|c-b|}
|
a
b
|
=
|
a
|
|
b
|
{\displaystyle {\bigg |}{\frac {a}{b}}{\bigg |}={\frac {|a|}{|b|}}}
b ≠ 0)
|
a
− − -->
b
|
≥ ≥ -->
|
(
|
a
|
− − -->
|
b
|
)
|
{\displaystyle \ |a-b|\geq {\Big |}(|a|-|b|){\Big |}}
Absolutní hodnota v nerovnosti (pro
b
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle b\geq 0}
|
a
|
≤ ≤ -->
b
⇔ ⇔ -->
− − -->
b
≤ ≤ -->
a
≤ ≤ -->
b
{\displaystyle \ |a|\leq b\Leftrightarrow -b\leq a\leq b}
|
a
|
≥ ≥ -->
b
⇔ ⇔ -->
a
≤ ≤ -->
− − -->
b
∨ ∨ -->
b
≤ ≤ -->
a
{\displaystyle \ |a|\geq b\Leftrightarrow a\leq -b\lor b\leq a}
Tyto vztahy se často používají pro řešení nerovnic s absolutní hodnotou.
Například:
|
x
− − -->
3
|
≤ ≤ -->
9
⇔ ⇔ -->
− − -->
9
≤ ≤ -->
x
− − -->
3
≤ ≤ -->
9
{\displaystyle |x-3|\leq 9\Leftrightarrow -9\leq x-3\leq 9}
⇔ ⇔ -->
− − -->
6
≤ ≤ -->
x
≤ ≤ -->
12
{\displaystyle \Leftrightarrow -6\leq x\leq 12}
Absolutní hodnota funkce
|
f
|
:
y
=
|
f
(
x
)
|
,
x
∈ ∈ -->
D
(
f
)
⊂ ⊂ -->
R
{\textstyle |f|:y=|f(x)|,x\in D(f)\subset R}
|
f
|
{\displaystyle |f|}
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle |f(x)|}
D
(
|
f
|
)
=
D
(
f
)
{\displaystyle D(|f|)=D(f)}
Podle definice absolutní hodnoty reálného čísla je:
|
f
|
:
y
=
|
f
(
x
)
|
=
{
f
(
x
)
,
pro
f
(
x
)
≥ ≥ -->
0
,
− − -->
f
(
x
)
,
pro
f
(
x
)
<
0
{\displaystyle |f|:y=|f(x)|=\{{\begin{aligned}&f(x),&{\text{pro}}\;f(x)\geq 0,\\&-f(x),&{\text{pro}}\;f(x)<0\\\end{aligned}}}
Funkce s absolutní hodnotou - Tím se rozumí funkce, která vychází z jakékoli funkce (lineární , kvadratické , logaritmické , goniometrické atd.), pokud ve svém předpisu obsahuje absolutní hodnotu.[ 3]
Absolutní hodnota jako funkce je pro reálná čísla definována takto:
f
(
x
)
=
|
x
|
{\displaystyle \ f(x)=|x|}
Graf funkce absolutní hodnoty reálného čísla Její vlastnosti:[ 4]
D
(
f
)
=
R
;
{\displaystyle D(f)=R;}
H
(
f
)
=
⟨ ⟨ -->
0
,
∞ ∞ -->
)
{\displaystyle H(f)=\langle 0,\infty {\bigr )}}
klesající v intervalu
(
− − -->
∞ ∞ -->
,
0
⟩ ⟩ -->
{\displaystyle {\bigl (}-\infty ,0\rangle }
rostoucí v intervalu
⟨ ⟨ -->
0
,
∞ ∞ -->
)
{\displaystyle \langle 0,\infty )}
je zdola omezená, shora omezená není;
v bodě 0 má minimum, nemá maximum;
je sudá, není prostá, není periodická;
spojitá ve všech bodech a diferencovatelná ve všech bodech kromě
x
{\displaystyle x}
Absolutní hodnota komplexního čísla
|
z
|
{\displaystyle |z|}
Gaussově rovině , od počátku soustavy souřadnic . Všechna komplexní čísla
z
{\displaystyle z}
kružnici se středem v počátku a s poloměrem rovným číslu
|
z
|
{\displaystyle |z|}
|
z
1
|
,
|
z
2
|
,
|
z
1
+
z
2
|
,
|
z
1
− − -->
z
2
|
{\displaystyle |z_{1}|,|z_{2}|,|z_{1}+z_{2}|,|z_{1}-z_{2}|}
z
1
,
z
2
,
z
1
+
z
2
,
z
1
− − -->
z
2
{\displaystyle z_{1},z_{2},z_{1}+z_{2},z_{1}-z_{2}}
Absolutní hodnota komplexního čísla
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle \ z=a+bi}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
|
z
|
=
z
.
z
¯ ¯ -->
=
a
2
+
b
2
,
{\displaystyle |z|={\sqrt {z.{\bar {z}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}
z
¯ ¯ -->
=
a
− − -->
b
i
.
{\displaystyle {\bar {z}}=a-bi.}
Vlastnosti:
Imaginární část
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
.
Pokud je komplexní číslo v exponenciálním (polárním) tvaru jako
z
=
r
e
i
θ θ -->
{\displaystyle z=re^{i\theta }}
r ≥ 0 a θ náleží reálným číslům absolutní hodnota je
|
z
|
=
r
{\displaystyle |z|=r}
|
z
|
=
z
⋅ ⋅ -->
z
¯ ¯ -->
{\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}}
z s pruhem je číslo komplexně sdružené k
z
{\displaystyle z}
Absolutní hodnota komplexního čísla má vlastnosti reálné absolutní hodnoty uvedené výše v rovnicích (2) až (11).
Pro komplexní čísla je absolutní hodnota spojitá ve všech bodech, ale není diferencovatelná v žádném bodě.
Kvaterniony
viz také kvaternion
Definice normy kvaternionu:
|
h
|
=
h
h
∗ ∗ -->
{\displaystyle |h|={\sqrt {hh^{*}}}}
h
∗ ∗ -->
=
a
− − -->
b
i
− − -->
c
j
− − -->
d
k
{\displaystyle h^{*}=a-bi-cj-dk}
Norma kvaterninonu, zapsaná v algebraickém tvaru
h
=
a
+
b
i
+
c
j
+
d
k
{\displaystyle h=a+bi+cj+dk}
|
h
|
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
d
2
{\displaystyle |h|={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
d
{\displaystyle d}
Vektory
viz také vektor
Absolutní hodnota (norma ) nebo délka vektoru v trojrozměrném euklidovském prostoru
x
=
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
∈ ∈ -->
R
3
{\displaystyle {\mbox{x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}}
|
x
|
=
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
{\displaystyle \left|{\mbox{x}}\right|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}}
Pomocí souřadnic vektoru
x
∈ ∈ -->
C
n
{\displaystyle {\mbox{x}}\in \mathbb {C} ^{n}}
|
x
|
=
|
x
1
|
2
+
|
x
2
|
2
+
.
.
.
+
|
x
n
|
2
{\displaystyle \left|{\mbox{x}}\right|={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+...+|x_{n}|^{2}}}}
Definice vyjádřená skalárním součinem :
|
x
|
=
x
∗ ∗ -->
⋅ ⋅ -->
x
{\displaystyle \left|{\mbox{x}}\right|={\sqrt {{\mbox{x}}^{*}\cdot {\mbox{x}}}}}
x
∗ ∗ -->
{\displaystyle {\mbox{x}}^{*}}
Pro normu vektoru se používá označení ||x||, ke zdůraznění, že argumentem normy není číslo, ale vektor.
Abstraktně se norma na komplexním vektorovém prostoru
V
{\displaystyle V}
|
x
|
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle |x|\geq 0}
|
x
|
=
0
↔ ↔ -->
x
=
0
{\displaystyle |x|=0\leftrightarrow x=0}
|
λ λ -->
x
|
=
|
λ λ -->
|
.
|
x
|
{\displaystyle |\lambda x|=|\lambda |.|x|}
homogenita ),
|
x
+
y
|
≤ ≤ -->
|
x
|
+
|
y
|
{\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|}
trojúhelníková nerovnost ),pro všechny
x
,
y
∈ ∈ -->
V
,
λ λ -->
∈ ∈ -->
C
{\displaystyle x,y\in V,\lambda \in \mathbb {C} }
Prostory
Základní vlastnosti absolutní hodnoty pro reálná čísla (viz 2. až 5. - reálná čísla) lze použít k zobecnění absolutní hodnoty v libovolném prostoru.
Absolutní hodnota reálná funkce v v poli F platí, pokud splňuje tyto čtyři axiomy:
v
(
a
)
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle v(a)\geq 0}
v
(
a
)
=
0
⟺ ⟺ -->
a
=
0
{\displaystyle v(a)=0\iff a=\mathbf {0} }
v
(
a
b
)
=
v
(
a
)
v
(
b
)
{\displaystyle v(ab)=v(a)v(b)}
v
(
a
+
b
)
≤ ≤ -->
v
(
a
)
+
v
(
b
)
{\displaystyle v(a+b)\leq v(a)+v(b)}
Absolutní hodnotu reálných a komplexních čísel je možno uvést jako příklady absolutních hodnot pro libovolné pole.
Jestliže v je absolutní hodnota F , pak funkce d na F × F, kde d(a, b) = v(a − b) , je metrikou a platí následující:
d
{\displaystyle d}
d
(
x
,
y
)
≤ ≤ -->
max
(
d
(
x
,
z
)
,
d
(
y
,
z
)
)
{\displaystyle d(x,y)\leq \max(d(x,z),d(y,z))}
x
,
y
,
z
∈ ∈ -->
F
{\displaystyle x,y,z\in F}
{
v
(
∑ ∑ -->
k
=
1
n
1
)
:
n
∈ ∈ -->
N
}
{\displaystyle {\big \{}v{\Big (}{\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} {\Big )}:n\in \mathbb {N} {\big \}}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
v
(
∑ ∑ -->
k
=
1
n
1
)
≤ ≤ -->
1
{\displaystyle v{\Big (}{\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} {\Big )}\leq 1\ }
n
∈ ∈ -->
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
v
(
a
)
≤ ≤ -->
1
⇒ ⇒ -->
v
(
1
+
a
)
≤ ≤ -->
1
{\displaystyle v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1\ }
a
∈ ∈ -->
F
{\displaystyle a\in F}
v
(
a
+
b
)
≤ ≤ -->
m
a
x
{
v
(
a
)
,
v
(
b
)
}
{\displaystyle v(a+b)\leq \mathrm {max} \{v(a),v(b)\}\ }
a
,
b
∈ ∈ -->
F
{\displaystyle a,b\in F}
Pomocí znaménkové funkce signum lze vyjádřit absolutní hodnotu jako
|
x
|
=
x
⋅ ⋅ -->
sgn
-->
x
{\displaystyle |x|=x\cdot \operatorname {sgn} x}
Platí také
x
=
|
x
|
⋅ ⋅ -->
sgn
-->
x
{\displaystyle x=|x|\cdot \operatorname {sgn} x}
Derivace
Funkce absolutní hodnoty má konstantní derivaci pro x≠0 , v bodě x=0 neexistuje:
d
|
x
|
d
x
=
{
− − -->
1
x
<
0
1
x
>
0
{\displaystyle {\frac {d|x|}{dx}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0\end{cases}}}
Platí tedy
d
|
x
|
d
x
=
|
x
|
x
=
sgn
-->
x
{\displaystyle {\frac {d|x|}{dx}}={\frac {|x|}{x}}=\operatorname {sgn} x}
Druhá derivace |x| je nula, mimo hodnoty pro x=0 , kde neexistuje.
Neurčitý integrál (primitivní funkce) funkce absolutní hodnoty je:
∫ ∫ -->
|
x
|
d
x
=
x
|
x
|
2
=
x
2
2
sgn
-->
x
.
{\displaystyle \int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}={\frac {x^{2}}{2}}\operatorname {sgn} x.}
Absolutní hodnota úzce souvisí s myšlenkou vzdálenosti. Jak bylo uvedeno výše, absolutní hodnota reálného nebo komplexního čísla je vzdálenost čísla od počátku (na reálné ose pro reálná čísla, v komplexní rovině pro komplexní čísla). Obecně: absolutní hodnota rozdílu dvou čísel (reálných nebo komplexních) je vzdálenost mezi nimi.
Standardní eukleidovská metrika mezi dvěma body
a
=
(
a
1
,
a
2
,
… … -->
,
a
n
)
{\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}
a
b
=
(
b
1
,
b
2
,
… … -->
,
b
n
)
{\displaystyle b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}
je v eukleidovském prostoru definována jako
∑ ∑ -->
i
=
1
n
(
a
i
− − -->
b
i
)
2
.
{\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}
Absolutní hodnotu rozdílu |a − b|, kde a i b jsou reálná čísla, lze vyjádřit jako
|
a
− − -->
b
|
=
(
a
− − -->
b
)
2
.
{\displaystyle |a-b|={\sqrt {(a-b)^{2}}}.}
Zatímco absolutní hodnotu rozdílu |a − b| , kde a i b jsou komplexní čísla
a
=
a
1
+
i
a
2
{\displaystyle a=a_{1}+ia_{2}}
b
=
b
1
+
i
b
2
{\displaystyle b=b_{1}+ib_{2}}
|
a
− − -->
b
|
=
|
(
a
1
+
i
a
2
)
− − -->
(
b
1
+
i
b
2
)
|
{\displaystyle |a-b|=|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})|}
=
|
(
a
1
− − -->
b
1
)
+
i
(
a
2
− − -->
b
2
)
|
{\displaystyle =|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})|}
=
(
a
1
− − -->
b
1
)
2
+
(
a
2
− − -->
b
2
)
2
.
{\displaystyle ={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}.}
Reálné zobrazení
d
:
M
× × -->
M
→ → -->
R
{\displaystyle d:{\mathcal {M}}\times {\mathcal {M}}\rightarrow \mathbb {R} }
metrika , jestliže splňuje tyto čtyři axiomy (pro libovolná
a
,
b
,
c
∈ ∈ -->
M
{\displaystyle a,b,c\in {\mathcal {M}}}
d
(
a
,
b
)
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle d(a,b)\geq 0}
d
(
a
,
b
)
=
0
⟺ ⟺ -->
a
=
b
{\displaystyle d(a,b)=0\iff a=b}
d
(
a
,
b
)
=
d
(
b
,
a
)
{\displaystyle d(a,b)=d(b,a)}
d
(
a
,
b
)
≤ ≤ -->
d
(
a
,
c
)
+
d
(
c
,
b
)
{\displaystyle d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)}
Reference
