Segon axioma de numerabilitat

Es diu que un espai topològic verifica el segon axioma de numerabilitat (o que és segon numerable o segon comptable) si la seva topologia té una base numerable. En forma abreujada, se sol dir que l'espai és IIAN o ANII.

Propietats

• El ser ANII és una propietat global que limita el nombre d'oberts de la topologia. De fet, es demostra que si (XT) és ANII, llavors el cardinal de T és menor o igual que el cardinal del continu.
• Ser ANII és una propietat hereditària: tot subespai d'un espai ANII també ho és.
• El producte numerable d'espais ANII és al seu torn ANII.
• Tot espai ANII és un espai ANI.^[1]

Exemples

• L'espai euclidià ℝⁿ amb la seva topologia usual és ANII. Tot i que la base formada per les boles obertes no és numerable, podem arribar a un que sí que ho és: la formada per les boles de radi racional i el centre tingui coordenades racionals.
• La tàctica anterior pot repetir-se en un espai mètric separable (és a dir que contingui un subconjunt dens numerable A). Com a base n'hi ha prou escollir de nou les boles de radi racional centrades en A.
• L'espai topològic discret, ${\displaystyle (X,\mathrm {T} _{D})}$, és ANII si y només si ${\displaystyle X}$ és numerable.^[1]
• L'espai de Sorgenfrey no és ANII, encara que sí és ANI.^[2]
• La recta cofinita, ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\mathrm {T} _{cof})}$, no és ANII ja que no és ANI.^[2]

Vegeu també

• Primer axioma de numerabilitat

Referències

1. Llopis, José L. «Axiomes de numerabilitat» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 2 setembre 2019].
2. Macho Stadler, Marta «Topologia general (primera part)» (en castellà). Universitat del País Basc [Consulta: 2 setembre 2019].