Relacions de Kramers-Kronig

En matemàtiques i en física, les relacions de Kramers-Kronig descriuen la relació que existeix entre la part real i la part imaginària de certes funcions complexes. La condició perquè s'apliquin a una funció ${\displaystyle f(\omega )}$ és que aquesta ha de representar la transformada de Fourier d'un procés físic lineal i causal. Si escrivim^[1]

${\displaystyle F(\omega )=f_{1}(\omega )+iF_{2}(\omega )}$,

amb ${\displaystyle f_{1}}$ i ${\displaystyle F_{2}}$ dues funcions reals, llavors les relacions de Kramers-Kronig són

${\displaystyle f_{1}(\omega )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\Omega F_{2}(\Omega )}{\Omega ^{2}-\omega ^{2}}}d\Omega }$

${\displaystyle F_{2}(\omega )=-{\frac {2\omega }{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {f_{1}(\Omega )}{\Omega ^{2}-\omega ^{2}}}d\Omega }$.

Les relacions de Kramers-Kronig estan relacionades amb la transformada de Hilbert, i són freqüentment aplicades a la permitivitat ${\displaystyle \epsilon (\omega )}$ dels materials. No obstant això, en aquest cas, cal tenir en compte que:

${\displaystyle F(\omega )=\chi (\omega )=\epsilon (\omega )/\epsilon _{0}-1\,}$,

amb ${\displaystyle \chi (\omega )}$ la susceptibilitat elèctrica del material. La susceptibilitat pot interpretar com la transformada de Fourier de la resposta temporal del material a una excitació infinitament breu, és a dir, la seva resposta a l'impuls.^[2]

Bibliografia

• Mansoor Sheik-Bahae. «Nonlinear Optics Basics. Kramers–Kronig Relations in Nonlinear Optics». A: Robert D. Guenther. Encyclopedia of Modern Optics. Amsterdam: Academic Press, 2005. ISBN 0-12-227600-0. 
• Valerio Lucarini; Jarkko J. Saarinen; Kai-Erik Peiponen; Erik M. Vartiainen Kramers-Kronig relations in Optical Materials Research. Heidelberg: Springer, 2005. ISBN 3-540-23673-2. 

Referències

1. Stephen H. Hall, Howard L. Heck.. Advanced signal integrity for high-speed digital designs. Hoboken, N.J.: Wiley, 2009, p. 331–336. ISBN 0-470-19235-6. 
2. John David Jackson. Classical Electrodynamics. Wiley, 1999, p. 332–333. ISBN 0-471-43132-X.