Punt de Nagel

El punt de Nagel (en blau, N) d'un triangle (en negre). El triangle en vermell és el triangle tangent exterior i els cercles taronja són els cercles tangents exteriors.

En geometria, el Punt de Nagel és un centre del triangle, un dels punts associats a un triangle donat la definició del qual no depèn de l'emplaçament o l'escala del triangle.

Donat un triangle ${\displaystyle ABC}$, siguin ${\displaystyle T_{A}}$, ${\displaystyle T_{B}}$ i ${\displaystyle T_{C}}$ els punts de tangència dels tres cercles tangents exteriors. Aleshores, les rectes ${\displaystyle AT_{A}}$, ${\displaystyle BT_{B}}$ i ${\displaystyle CT_{C}}$ es creuen en un mateix punt: el punt de Nagel del triangle ${\displaystyle ABC}$. Aquest punt rep el seu nom pel matemàtic alemany Christian Heinrich von Nagel qui el va definir el 1836.

Relació amb altres centres del triangle

El punt de Nagel és el conjugat del punt de Gergonne. El punt de Nagel, el centroide i l'incentre són colineals i rauen en la recta anomenada recta de Nagel.^[1]

Coordenades

Les seves coordenades són:^[2]

${\displaystyle \csc ^{2}(A/2)\,:\,\csc ^{2}(B/2)\,:\,\csc ^{2}(C/2)}$

o, de forma equivalent i en termes de la longitud dels costats ${\displaystyle a=|BC|}$, ${\displaystyle b=|CA|}$ i ${\displaystyle c=|AB|}$:

${\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}\,:\,{\frac {c+a-b}{b}}\,:\,{\frac {a+b-c}{c}}.}$

Referències

1. Anònim «Problem 73». American Mathematical Monthly, Vol. 3, Num. 12, 1896, pàg. 329. JSTOR: 2970994.
2. Gallatly, William. The Modern Geometry of the Triangle. Londres: Hodgson, 1913, p. 20. 

• Baptist, Peter «Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt». Sudhoffs Archiv für Geschichte der Medizin und der Naturwissenschaften, Vol. 71, Num. 2, 1987, pàg. 230–233.

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., «Nagel Point» a MathWorld (en anglès).