Potència de dos

Una potència de dos és qualsevol dels nombres obtinguts en elevar el nombre dos a una potència sencera no negativa, o, equivalentment, el resultat de multiplicar 2 per si mateix un nombre enter (i no negatiu) de vegades. Noteu que el nombre 1 és una potència de dos (la potència zero). Les potències de dos es caracteritzen per representar de la forma 100 … 0 al sistema binari, de la mateixa manera que es representen les potències de 10 en el sistema decimal.

Com que el nombre 2 és la base del sistema binari, les seves potències prenen rellevància en les ciències computacionals. Concretament, dos elevat a la potència n és el nombre de «paraules» que es poden formar amb n bits. Això fa que el major nombre sencer que es pot emmagatzemar en un programa informàtic sigui un menys que una potència de dos (un menys perquè el menor nombre no és l'1, sinó el 0).

Un nombre primer que és un menys que una potència de dos (per exemple, 31 = 2⁵ - 1) rep el nom de nombre primer de Mersenne, mentre que un nombre primer que és un més que una potència de dos (com el 257 = 2⁸+1) rep el nom de nombre primer de Fermat. Una fracció el denominador de la qual sigui una potència de dos és una fracció diàdica.

Les 96 primeres potències de 2

2^0

=

1

2¹⁶

=

65,536

2³²

=

4,294,967,296

2^48

=

281,474,976,710,656

2^64

=

18,446,744,073,709,551,616

2^80

=

1,208,925,819,614,629,174,706,176

2¹

=

2

2^17

=

131,072

2^33

=

8,589,934,592

2^49

=

562,949,953,421,312

2^65

=

36,893,488,147,419,103,232

2^81

=

2,417,851,639,229,258,349,412,352

2²

=

4

2^18

=

262,144

2^34

=

17,179,869,184

2^50

=

1,125,899,906,842,624

2^66

=

73,786,976,294,838,206,464

2^82

=

4,835,703,278,458,516,698,824,704

2^3

=

8

2^19

=

524,288

2^35

=

34,359,738,368

2^51

=

2,251,799,813,685,248

2^67

=

147,573,952,589,676,412,928

2^83

=

9,671,406,556,917,033,397,649,408

2^4

=

16

2^20

=

1,048,576

2^36

=

68,719,476,736

2^52

=

4,503,599,627,370,496

2^68

=

295,147,905,179,352,825,856

2^84

=

19,342,813,113,834,066,795,298,816

2⁵

=

32

2^21

=

2,097,152

2^37

=

137,438,953,472

2^53

=

9,007,199,254,740,992

2^69

=

590,295,810,358,705,651,712

2^85

=

38,685,626,227,668,133,590,597,632

2⁶

=

64

2^22

=

4,194,304

2^38

=

274,877,906,944

2^54

=

18,014,398,509,481,984

2^70

=

1,180,591,620,717,411,303,424

2^86

=

77,371,252,455,336,267,181,195,264

2^7

=

128

2^23

=

8,388,608

2^39

=

549,755,813,888

2^55

=

36,028,797,018,963,968

2^71

=

2,361,183,241,434,822,606,848

2^87

=

154,742,504,910,672,534,362,390,528

2^8

=

256

2^24

=

16,777,216

2^40

=

1,099,511,627,776

2^56

=

72,057,594,037,927,936

2^72

=

4,722,366,482,869,645,213,696

2^88

=

309,485,009,821,345,068,724,781,056

2⁹

=

512

2^25

=

33,554,432

2^41

=

2,199,023,255,552

2^57

=

144,115,188,075,855,872

2^73

=

9,444,732,965,739,290,427,392

2^89

=

618,970,019,642,690,137,449,562,112

2¹⁰

=

1,024

2^26

=

67,108,864

2^42

=

4,398,046,511,104

2^58

=

288,230,376,151,711,744

2^74

=

18,889,465,931,478,580,854,784

2^90

=

1,237,940,039,285,380,274,899,124,224

2^11

=

2,048

2^27

=

134,217,728

2^43

=

8,796,093,022,208

2^59

=

576,460,752,303,423,488

2^75

=

37,778,931,862,957,161,709,568

2^91

=

2,475,880,078,570,760,549,798,248,448

2^12

=

4,096

2^28

=

268,435,456

2^44

=

17,592,186,044,416

2^60

=

1,152,921,504,606,846,976

2^76

=

75,557,863,725,914,323,419,136

2^92

=

4,951,760,157,141,521,099,596,496,896

2^13

=

8,192

2^29

=

536,870,912

2^45

=

35,184,372,088,832

2^61

=

2,305,843,009,213,693,952

2^77

=

151,115,727,451,828,646,838,272

2^93

=

9,903,520,314,283,042,199,192,993,792

2¹⁴

=

16,384

2³⁰

=

1,073,741,824

2^46

=

70,368,744,177,664

2^62

=

4,611,686,018,427,387,904

2^78

=

302,231,454,903,657,293,676,544

2^94

=

19,807,040,628,566,084,398,385,987,584

2^15

=

32,768

2^31

=

2,147,483,648

2^47

=

140,737,488,355,328

2^63

=

9,223,372,036,854,775,808

2^79

=

604,462,909,807,314,587,353,088

2^95

=

39,614,081,257,132,168,796,771,975,168

Es pot veure que començant amb 2 l'últim dígit acaba sent periòdic amb el cicle 2–4–8–6–, i començant amb 4 els últims dos dígits són periòdics amb el període 20. Aquests patrons són generalment certs en qualsevol potència, respecte en qualsevol base. El patró continua, evidentment, en cada patró que comença en el punt de llargada 2^k d'ordre multiplicatiu de 2 mòdul de 5^k.