Piràmide pentagonal allargada

Piràmide pentagonal allargada

Model 3D
Tipus	Sòlid de Johnson
Forma de les cares	Triangles equilàters, quadrats i un pentagon
Cares per vèrtex	3, 4 i 5
Vèrtexs per cara	3, 4 i 5
Simetria	C5v
Dual	Ell mateix
Propietats	Convex
Elements
Cares	11
Arestes	20
Vèrtexs	11
Característica	2
Més informació
MathWorld	ElongatedPentagonalPyramid

En geometria, la piràmide pentagonal allargada és un dels noranta-dos sòlids de Johnson (J₉).

Es pot obtenir allargant una piràmide de base pentagonal enganxant-li un prisma pentagonal a la base. D'aqui ve el seu nom.

Com en el cas de totes les piràmides allargades, el sòlid que en resulta és dual de si mateix.

Els 92 sòlids de Johnson van ser descrits 1966 per Norman Johnson i els va numerar. No va demostrar que no n'existia més que 92, però va conjecturar que no n'hi havia d'altres. Victor Zalgaller el 1969 va demostrar que la llista de Johnson era completa. S'utilitzen els noms i l'ordre donats per Johnson, i se'ls nota J_xx on xx és el nombre donat per Jonson.

Desenvolupament pla

Desenvolupament pla de la piràmide pentagonal allargada

Fórmules

Fórmules de l'altura (${\displaystyle H}$), àrea (${\displaystyle A}$) i volum (${\displaystyle V}$) de la piràmide pentagonal allargada amb cares regulars i arestes de longitud ${\displaystyle L}$:^[1]

${\displaystyle H=L\cdot \left(1+{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\right)\approx L\cdot 1.525731112}$

${\displaystyle A=L^{2}\cdot {\frac {20+5{\sqrt {3}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}\approx L^{2}\cdot 8.88554091}$

${\displaystyle V=L^{3}\cdot \left({\frac {5+{\sqrt {5}}+6{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{24}}\right)\approx L^{3}\cdot 2.021980233}$

Políedre dual

El dual de la piràmide pentagonal allargada té 11 cares: 5 triangulars, 1 pentagonal i 5 trapezoidals.

Dual de la piràmide pentagonal allargada	Desenvolupament del dual

Referències

1. Sapiña, R. «Àrea i volum de la piràmide pentagonal allargada o sòlid de Johnson J₉» (en castellà). Problemas y ecuaciones. ISSN: 2659-9899 [Consulta: 30 agost 2020].

• Norman W. Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pages 169–200. Conté l'enumeració original dels 92 sòlids i la conjetura de qo n'hi ha pas d'altres.
• Victor A. Zalgaller, "Convex Polyhedra with Regular Faces", 1969 : primera demostració d'aquesta conjectura.
• Eric W. Weisstein. Johnson Solid : cada sòlid amb el seu desenvolupament

Vegeu també

• Políedre arquimedià
• Políedre de Catalan
• Políedre regular
• Sòlid platònic

Enllaços externs

• Weistein, Eric W., Elongated pentagonal pyramid piràmide pentagonal allargada a MathWorld. (anglès)
• Weistein, Eric W., Johnson solid Sòlids de Johnson a MathWorld. (anglès)