Paradoxa de les patates

Visualització de la paradoxa de les patates: Les boles blaves representen el 99% i la bola taronja el 1% sòlid (esquerra). Per doblar el ratio de solid respecte aigua a 1:49, la quantitat d'aigua es redueix en 49 per mantenir la mateixa quantitat de sòlid (figura central). Això és equivalent a doblar la concentració de sòlid (dreta).

Les patates blanques contenen aproximadament un 79% d'aigua;^[1] L'agar-agar és un 99% aigua.^[2]

La paradoxa de les patates és un càlcul matemàtic que té un resultat contraintuïtiu.

Descripció

La paradoxa s'ha descrit així

Tu tens 100 kg de patates, dels quals el 99% és aigua. Les deixes deshidratar fins que siguin el 98% aigua. Quant pesen ara?

Al llibre "The Universal Book of Mathematics" presenta el problema de la següent forma:^[3]

Fred porta a casa 100 lliures de patates, que (per ser patates matemàtiques) consisteixen en un 99% d'aigua. Les deixa deshidratar tota la nit i passen a ser un 98% d'aigua. Quin és el seu nou pes? La resposta és 50 lliures.

A la classificació de Quine de paradoxes, la paradoxa de les patates és una paradoxa verídica.

Explicacions senzilles

Mètode 1

Una explicació senzilla és considerar que inicialment el pes de la no-aigua és l'1% del total. Llavors ens podem preguntar: 1 kilo és el 2% de quants kilograms? Per què aquest percentatge sigui el doble, el pes total ha de ser la meitat.

Mètode 2

100 kg de patates, 99% aigua (de pes) vol dir que hi ha 99 kg d'aigua i 1 kg de sòlid. És un ratio de 1:99.

Si l'aigua baixa al 98%, llavors el sòlid passa a ser el 2% del sòlid. El ratio 2:98 es pot reduir a 1:49. Com que el sòlid encara pesa 1 kg, l'aigua pesarà 49 kg, fent un total de 50 kg de pes.

Explicacions usant àlgebra

Mètode 1

Després d'evaporar l'aigua, la quantitat total romanent x conté 1 kg de sòlid de patates i (98/100)x d'aigua. L'equació és: ${\displaystyle {\begin{aligned}1+{\frac {98}{100}}x&=x\\\Longrightarrow 1&={\frac {1}{50}}x\end{aligned}}}$

que resulta ser x = 50 kg.

Mètode 2

El pes de l'aigua en les patates fresques és ${\displaystyle 0.99\cdot 100}$.

Si ${\displaystyle x}$és el pes de l'aigua perdut per les patates al deshidratar-se llavors ${\displaystyle 0.98(100-x)}$ és el pes de l'aigua que queda a les patates. Per tant:

${\displaystyle 0.99\cdot 100-0.98(100-x)=x}$

Expandint i simplificant es te

${\displaystyle 99-(98-0.98x)=x}$

${\displaystyle 99-98+0.98x=x}$

${\displaystyle 1+0.98x=x}$

Restant ${\displaystyle x}$de cada costat:

${\displaystyle 1+0.98x-0.98x=x-0.98x}$

${\displaystyle 1=0.02x}$

I resolent

${\displaystyle {\frac {1}{0.02}}={\frac {0.02x}{0.02}}}$

Que dona que l'aigua perduda és

${\displaystyle 50=x}$

I el pes de les patates deshidratades és

${\displaystyle 100-x=100-50=50}$

Implicacions

La resposta és la mateixa sempre que la concentració del sòlid es dobla. Per exemple, si les patates fossin originalment un 99.999% d'aigua, reduint el percentatge a 99.998% també es dividiria el pes per dos.

Referències

1. «Water Content of Fruits and Vegetables, Cooperative Extension Service, University of Kentucky». Arxivat de l'original el 15 de gener 2016.
2. «Agar production methods – Food grade agar, UN Food and Agriculture Organization».
3. «potato paradox», 02-02-2014. Arxivat de l'original el 2014-02-02. [Consulta: 13 agost 2018].