Paradoxa de Hilbert-Bernays

La paradoxa de Hilbert-Bernays és una peculiar paradoxa que pertany a la família de les paradoxes de la referència (com la paradoxa de Berry). Rep el seu nom en honor de David Hilbert i Paul Bernays.

Història

La paradoxa apareix en el llibre Grundlagen der Mathematik, de Hilbert i Bernays, els quals l’usen per demostrar que una teoria suficientment forta i consistent no pot contenir el seu propi functor de referència.^[1] Tot i que ha passat desapercebuda durant gran part del segle XX, recentment s’ha redescobert i se l’ha apreciat per les peculiars dificultats que presenta.^[2]

Formulació

Així com la propietat semàntica de la veritat sembla estar regida per l’esquema naïf:

(T) L’oració ‘P’ és vertadera si, i només si, P

(en el qual les cometes simples refereixen a l’expressió lingüística que apareix entre elles), la propietat semàntica de la referència sembla estar regida per l’esquema naïf:

(R) Si a existeix, el referent del nom ‘a’ és idèntic a a

Tanmateix, suposem que per a cada expressió e del llenguatge, el llenguatge també conté un nom <e> per a aquesta expressió, i considerem un nom h per als nombres (naturals) que compleixi la següent condició:

(H) <h> és idèntic a ‘(el referent de <h>)+1’

Suposem que, per a algun nombre n:

(1) El referent de <h> és idèntic a n

Aleshores, segurament, el referent de <h> existeix, igual com també existeix (el referent de <h>)+1. Aleshores, segons (R), se segueix que:

(2) El referent de ‘(el referent de <h>)+1’ és idèntic a (el referent de <h>)+1

Per tant, segons (H) i el principi d’indiscernibilitat dels idèntics, es compleix que:

(3) El referent de <h> és idèntic a (el referent de <h>)+1

Però, amb dues aplicacions més de la indiscernibilitat dels idèntics, (1) i (3) impliquen:

(4) n és idèntic a n+1

Desgraciadament, (4) és absurd, ja que cap nombre és idèntic al seu successor.

Solucions

Donat que, segons el lema diagonal, qualsevol teoria que sigui suficientment forta ha d’acceptar quelcom similar a (H), l’única forma d’evitar l’absurditat consisteix o bé en rebutjar el principi de referència naïf (R) o bé en rebutjar la lògica clàssica (la qual valida el raonament des de (R) i (H) fins a l’absurditat). Segons la primera proposta, el que es diu sobre la paradoxa del Mentider s’aplica de forma similar a la paradoxa de Hibert-Bernays.^[3] En canvi, aquesta paradoxa presenta dificultats peculiars per a moltes de les solucions que segueixen la segona proposta. Per exemple, algunes de les solucions a la paradoxa del Mentider que rebutgen el principi del terç exclòs (el qual no s’usa en la paradoxa de Hilbert-Bernays) han negat que existeixi el referent de h;^[4] algunes de les solucions a la paradoxa del Mentider que rebutgen el principi de no contradicció (el qual tampoc s’usa en la paradoxa de Hilbert-Bernays) han afirmat que h refereix a més d’un objecte.^[2]

Referències

1. Hilbert, David; Bernays, Paul. Grundlagen der Mathematik. Berlín: Springer, 1939, p. 263–278. 
2. Priest, Graham. Towards Non-Being. Oxford: Oxford University Press, 2005, p. 156–178. 
3. Keith Simmons «Reference and Paradox». A: Liars and Heaps. Oxford: Oxford University Press, 2003, p. 230–252. 
4. Field, Hartry. Saving Truth from Paradox. Oxford: Oxford University Press, 2008, p. 291–293.