Nombre de Betti

En topologia, els nombres de Betti són uns objectes topològics que Henri Poincaré^[1] va demostrar que eren invariants i que va utilitzar per estendre la fórmula polièdrica a espais de dimensions més grans que tres. Per a cada dimensió d'un espai topològic en el que existeixen símplex, el nombre de Betti expressa el nombre de cicles independents en aquesta dimensió.^[2]

Definició

Un tor té un component connectat, dos forats circulars (un al centre i l'altre a l'interior del tub) i un buit tridimensional: Els seus nombres de Betti són 1,2,1.

Intuïtivament, el nombre de Betti a cada dimensió, és el nombre de talls que es poden fer en una superfície n-dimensional sense dividir-la totalment. Així, per exemple, la seqüència de nombres de Betti d'un espai tridimensional seria: ${\displaystyle (a,b,c,0,0,0,\dots )}$, on ${\displaystyle a,b,c}$ representen els nombres de talls que es poden fer en les dimensions 1, 2 i 3 i els zeros següents representen les demés dimensions inexistents.

Formalment, el n-éssim nombre de Betti és el rang del n-éssim grup homològic d'un espai topològic.^[3]

Referències

1. Poincaré els va posar el nom de Betti en honor del matemàtic italià Enrico Betti (1823-1892).
2. Kline, pàgina 1173.
3. Henle, pàgina 159.

Bibliografia

• Gayet, Damien; Welschinger, Jean-Yves «What is the total Betti number of a random real hypersurface?» (en (anglès)). Journal für die reine und angewandte Mathematik, Num. 689, 2014, pàg. 137-168. DOI: 10.1515/crelle-2012-0062. ISSN: 0075-4102.
• Henle, Michael. A Combinatorial Introduction to Topology (en (anglès)). Dover Publications, 1979. ISBN 0-486-67966-7. 
• Kline, Morris. Mathematical Thought From Ancient to Modern Times: Volume 3 (en (anglès)). Oxford University Press, 1990. ISBN 0-19-506137-3. 

Enllaços externs

• Barile, Margherita; Weisstein, Eric W. «Betti number». MathWorld--A Wolfram Web Resource. [Consulta: 24 febrer 2017].